数の集合は、自然数、整数、有理数、実数というように拡大していく。
「自然数から整数、整数から有理数への拡大」と、「有理数から実数への拡大」
には本質的に異なる点がある。それは何か、ということを教えてください!
お願いします!!

A 回答 (8件)

ご参考まで↓下記URL。



http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=31937 (実数・有理数の個数の話),
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=32339 (切断の話),
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=18806 (ペアノ曲線の話)

なお「切断」は、「極限」の概念を表立って含んでいない事が値打ちのように思われます。
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<oodaikoさんへ



「虚数」と勘違いしてました。おっしゃる通り「無理数は幾何学的に理解不能」
というのは明らかに間違いです。 
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集合の大きさが異ると言うことではないでしょうか。


自然数から整数への1対1の写像は存在する。
整数から有理数への1対1の写像も存在する。
しかし有理数から実数への1対1の写像は存在しない。

たしか自然数、整数、有理数は可算集合とかいう名前が付いていて
有理数は可算集合ではないとかなんとか。

うろおぼえですいません。
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そうですね。



基本列による実数の定義にしても、切断法による実数の
定義にしても、極限の概念は外せないと思います。

一言でいえば、やはり「極限の概念を使うかどうか?」
・・じゃないかなぁ。
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「極限」の概念を使わないといけない、って


ことじゃないですかね。

有理数までは #1 の回答のように2つを組み合わせ
れば済みますが、「有理数から実数へ」は極限の考
え方無しでは拡張のしようがない。

一般的なカントールの方法では、収束する有理数列
の極限の集合を「実数」としてたと思います。
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端的にいえば自然数から有理数までの拡大は四則計算を満たすようにするための拡大であるのに対し、


有理数から実数への拡大は「完備化」によるものです。といってももちろんこんな言葉だけではわけが
わからないと思いますので以下に解説します。

まず自然数の中では「足し算」と「かけ算」が出来ますね。つまり自然数同士を有限回足したり
かけたりしても自然数になります。しかし自然数の範囲内では「引き算」は出来ません。そこで
まずマイナスの数を導入して「引き算」が出来るように数の体系を拡大します。これが整数です。
さらに「割算」も出来るようにするためには分数を導入する必要があります。分数を導入して整数を
拡大し、(0で割ることを除く)「割算」が出来るようにした体系が有理数です。
自然数から有理数まではこのように演算をその中で出来るようにするための拡大でした。
しかしこのような拡大方法では有理数より大きい体系は作れません。なぜなら有理数だけでも
(0で割ることを除いて)四則演算が自由にできるからです。すなわち有理数同士に有限回の四則演算
を施しても結果は有理数になります。

従って有理数より大きな数の体系を考えるには別の拡大方法が必要になります。そもそも有理数で
ないような数があるのかどうかがまず問題になりますが、これは高校数学で学ぶように√2が有理数
でないことがわかれば十分でしょう。また円周率πや自然対数の底eも有理数ではありません。
そこでこのような数も含むように数の体系をさらに拡大する必要があります。しかし四則演算だけ
ではもう拡大できません。

そこで無理数(有理数でない数)を「近似」によって表現することを考えます。例えばπなら
a_1 = 3
a_2 = 3.14
a_3 = 3.14259
a_4 = 3.14159265
a_5 = 3.14159265358979



という有理数からなる数列を考えると、この数列はπに限りなく近付きます。
もちろんπに近付く有理数の数列は一通りとは限りません。例えば
b_1 = 3.1
b_2 = 3.1415
b_3 = 3.142592
b_4 = 3.1415926535
b_5 = 3.141592653589



という数列もπに限りなく近付きます。

さてここでπに近付く有理数の数列は全部一つの同じモノ(数列)とみなしてしまいます。さらに
そのようなπに近付く数列自体を一つの「数」とみなしてしまい、その「数」をπとします。
同じようにしてどんな無理数(有理数でない数)rに対しても、その無理数を近似するような有理数
の列{r_n}を考え、列{r_n}自体をrとみなします。
有理数qに対してはすべてのnに対して同じ値qをとるような数列{q_n}(q_n = q)を考えて{q_n}をq
とみなします。
こうするとすべての有理数と無理数はそれらに近付くような数列で表されることになります。

さらに数列{a_n}で表される「数」をa,数列{b_n}で表される「数」をb ,とし、これらの「数」に
対する四則演算を
a±b={a_n ± b_n}
a×b={a_n×b_n}
a/b={a_n/b_n} (ただしb≠0とし、またすべてのnに対しb_n≠0となるような{b_n}を選ぶ)
のように定義します。(つまり右辺で定義される数列を左辺の「数」とみなします)
するとこのように定義した「数」は有理数を真部分集合として含む(すなわち有理数より真に大きい)
体系となり、なおかつ四則計算を矛盾なく満たしています。こうして作られた数の体系が実数です。

数列によって数の体系を拡大するこの操作のことを「完備化」と呼びます。
hirokimatsuuraさんは高校生でしょうか?
上に書いたようなことを数学的にきっちりした形で表現することは理工系の大学へ行けば一年次の
「解析概論」などで学ぶと思います。

<pei-peiさん
>無理数は幾何学的に理解不能 ということでしょうか?
そんなことはありませんヨ。そもそも数直線というのは実数のモデルの一つだし、
例えば√2は無理数ですがコンパスと定規を使って数直線上に√2の長さをとることも出来ます。
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無理数は幾何学的に理解不能 ということでしょうか?

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どんな整数も二つの自然数の差として表現できる。


どんな有理数も二つの整数の分数として表現できる。
実数のうち無理数はいくつ有理数を持ってきても表現できない。

ってことかな?
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