虚数単位と純虚数の違いを知りたい

Question

虚数単位　と　純虚数　では、何が違うのでしょうか？

masterkoto · Accepted Answer

・純虚数は、複素数前提の話なのでしょうか？
＞以下のように複素数は実数と虚数に分類されます。さらに、虚数は純虚数とそうでないものに分けられます。従って純虚数だけでなく、虚数、更には実数も複素数が前提と言えそうです。

複素数ー実数（５など）
　　　＼虚数（5+3iなど）ー特に、実部が無い虚数は純虚数（3iなど）

・a=0の時、a+biのbiは純虚数だけれども、ただのbiを純虚数とは呼ばない？？
＞あまり複雑に考えると良くないです。単純に「ｂを実数、iを虚数単位として　biと表される数は純虚数」と思っておけばそれでよいと思います。

・純虚数と虚数単位は一致することもあるということでしょうか？
＞医療ドラマなどで「○○薬１単位」投与なんていうセリフを聞いたことはありませんか？ある量を「１（単位）」としてそれを基準に量を表すという事はよくあります。
定規も通常１目盛は１ｍｍです。この１目盛を「１単位」として長さを計っているという捉え方もできます。
つまりこの意味では定規での長さの「１単位」は「ｍｍ」。
この定規と同じで、純虚数も図のような数直線に表わせば、1目盛を虚数単位ｉにとるのが普通の感覚ですよね。⇒この数直線の「１単位（1目盛）」が「ｉ（虚数単位）」。この数直線上で０から５目盛（５単位）分　正の方向にいけば5i・・・これが純虚数
０から１目盛（１単位）分　正の方向にいけばi・・・これも純虚数　というイメージでとらえてみるといいかもです。

・純虚数の中には、虚数単位(の値)と一致するものもある、という理解で合っていますか？
＞結果的にはそうなると思いますが、数直線からも分かるとおり、虚数単位の実数倍が純虚数。とくに虚数単位ｉの1倍は
純虚数ｉ　という捉え方のほうが良いかもです。
参考まで。

majimelon37 · Answer

虚数単位と 純虚数 の違いを知る良い方法は、その考えが生まれた、１から５までの理由を知る事です。
１，ものを「一つ」「二つ」と数える時に使う数、１，２，３，４，･･･を自然数と言う。
２、方程式ｘ＋３＝１を解くと、ｘ＝１－３。自然数しか知らない時は、１から３は引けないと言った。
負数(マイナスの数)を知った人は、ｘ＝－２と答える。･･･,－2，－1,0,1,2,3,･･･整数と言う。
３、方程式ｘ✕３＝５を解くと、ｘ＝５/３。整数しか知らない時は、５わる３は１余り２と言った。
分数を知った人は、３分の５という。正負の分数の全体を有理数という。
４，方程式x^２－２＝０を解くと、ｘ＝√２は分数で表せないので、ルート記号を考えた。－∞から＋∞まで一直線上に並ぶ数を実数という。実数のうちで、有理数以外の数を無理数という。
５，方程式x^２＋１＝０を解くと、ｘ＝ｉと－ｉの二つの解がある。x^４＋６４＝０を解くとx＝２＋２ｉ, ２－２ｉ，－２＋２ｉ, －２＋２ｉの４個の解がある。ｉを虚数単位という。a,bが実数の時、ａ＋ｂｉの形の数を複素数という。実数しか知らない時は、この方程式は解がないと言った。二つの実数a,bを一つの数ｘにまとめたので、ｘ＝ａ＋ｂｉを複素数と言う。２００年前にガウスが複素数を考えたので、６，７，８の効果が出た。
６、ｎ次方程式を解くのに、ｎ次が１００次でも何次でも、これ以上、新しい数を考える必要がないことが解った。ｎ次方程式はいつでもｎ個の解がある(重根の場合もある)。これを代数学の基本定理という。ガウスが証明した。
７、ｘ，ｙ座標を使った２次元の平面の座標(ｘ，ｙ)の点を一つの複素数ｚ＝a+biで表すことができる。
この平面を複素平面という。(また、ガウス平面ともいう)。実数ｘが一直線上の点ｘで表されるように、複素数a+biは一平面の上の座標(a，b)の点を表す。この時、ｘ軸上の点はb=0だからz=aで実数である。ｙ軸上の点はa＝０だからz=biで純虚数という。二次元ベクトル(a,b)と(c,d)のたし算、引き算は複素数のa+biとc+diのたし算、引き算と同じである。
８、実数の掛け算は伸縮である。１に５または0.5をかければ、単位１ｍの長さは、５ｍまたは0.5ｍに伸縮される。複素数の掛け算は伸縮と回転の組み合わせである。例えば１にｉを繰り返して掛けると、１，ｉ，ｉ^２，ｉ^３，ｉ^４，･･･となるが、１回かけるごとに90°ずつ回転する。xy座標では1＝(1,0)，i＝(0,1), ｉ^２＝(－１,0), ｉ^３＝－ｉ=(0,－１), ｉ^４＝1=(1,0)となり、ｉ^４は１にもどる(図の●)。またx^４＋4＝０の一つの解ｘ＝1+ｉ＝(1,1)を掛けることは、|x|＝√２倍の引き伸ばしと45°の回転である。１にｘを繰り返して掛けると、ｘ＝１＋ｉ，x^２＝(1+ｉ)^２＝2ｉ，x^３＝(1+ｉ)^３＝－2+2i＝(－2,2), x^４＝(1+i)^４＝－4＝(－4,0) (図の▼)となる。
９、あなたの質問：虚数単位とは、ｉのことである。√(－1)とも言う。
純虚数とは、ｚ＝biの形の数。複素平面上のｙ軸上の点を表す。図の2ｉの▼も、ｉとｉ３＝－ｉの二つの●点も純虚数である。原点はｙ軸上にあるが、普通は純虚数とは言わないが、性質上は純虚数であるという場合が生じる。

masterkoto · Answer

0.2i　(1/3)i　3i　√3iなどは　すべて純虚数ということはご理解いただけますよね。（虚数単位iの実数倍だから：定義は実数a,ｂを用いて表せる複素数a+biにおいて特に　a=0 b≠0 のとき　a+biはbi　となり　これを純虚数　という)
ここで単に　iも　虚数単位iの実数倍だから　純虚数です。

（質問者様からno1の方への質問ですが虚数単位に関連することなので取り上げます。）「虚数単位の値は、2乗して −1 になる数」という言い方は？>>>あくまでも私個人の意見ですが少し違和感があります。虚数単位(i)は、2乗して −1 になる数という言い方のほうがしっくりくるように思います。(i²=-1を満たす1つの数iを虚数単位という　これが定義だから）

虚数単位　と　純虚数　では、何が違うのでしょうか？＞＞＞
biにおいてiにフォーカスを合わせれば、それは虚数単位、
bi全体にフォーカスを合わせればそれは、純虚数
このような説明でいかがでしょうか？

また疑問に思われているiは、i²=-1を満たす1つの数iを虚数単位という　ことの意味では虚数単位、
(a+biでなくて)biの形で表されているという意味では　純虚数である　となりそうです。
同じiでも、文脈によってが虚数単位と純虚数のいずれに該当するのか違ってきそうです。

何回も投稿して申し訳ありませんが最終回答としたいと思います。
少しでも理解の手助けになれればうれしいです。

konjii · Answer

№５です。√‐ｘの時ｘ＞０ならば全て実数に対し純虚数と言います。

fxq11011 · Answer

>数学における「単位」に絞って再投稿いたします。
まるで数学では国語なんか不要とでも？。
数学に限らず国語が理解できないとほかの学問も理解でき無い？、本当ですね。
中学あたりの数学では、長さや面積、体積なんかの問題が多いですね、ｍ、ｇ、時間、
○個の個、も単位です、誰も１が単位だなんて思っていません、例え数学といえども。
「単位」と、「基本となる単位」ではまるで意味が違います、単に単位と言えば単位の名称（もちろん何を表すかの意味も含みます）、基本となる単位は、・・・するための単位（必要な最小の構成？の事です）。
１２個まとめて一つの単位＝１ダースがその例です。
最終消費者には１個単位、それまでは１２個単位（１ダース）小物の工業製品に結構多いです。
ｍ、やｇが付く数字の計算は数学では無いと言わんばかりにも聞こえます。
長さと面積の数値だけをそのまま足し算して何が求められますか？。
この数値は長さだぞ！、この数値は面積だぞ！が必要なのです、虚数単位も同じです、この数値は虚数だぞ！が必要なのです、ｍもｇもi も同じ単位の名称なのです。
純虚数って？、1iの実数倍の事、例　0.2i　は実数倍では無いので純伽数に不該当、(1/3)iも同じ。
なんの事は無い、通常の数字の自然数にあたるのが虚数を扱う場合は純虚数と言うだけ。
１の実数倍が自然数、（０、小数、分数、その他は含みません）。
質問者は、どうせどこかで得た、コピペ丸投げ知識、先ずはこんな理解が必要です。
通常でも、自然数だから・・で計算途中に気を遣う事は有りません、純虚数も全く同じです、知らなくても多分不自由は余り無いハズです。
１は数学の最も基本である対応を考える時の基本となる単位、と言うだけの事です。
国語の重要さを改めて知る思いすら感じます。
数学だけに特化？した自分の感性に自己陶酔？って感じもします。

hitonomichi36 · Answer

固有ベクトルは同じで固有値が異なると考えればいいでしょ。

fxq11011 · Answer

確かに数学の元の元は対応と聞いたことがあります、対応の基礎は１ですね、確かに単位は１に間違いありません。
でも実際にiを虚数単位、と言いますと習った記憶もあります。
数値のみを扱う数学での単位は１でしょう。
そこで
虚数単位＝虚数の単位、虚数として対応を考えるときの単位、と解釈すると、１i　が単位と言う結果になります。

konjii · Answer

虚数単位はi、５iは虚数。
以上

masterkoto · Answer

fxq11011様の回答の意味がいまいち分からなかったのですが、
要は私の回答が物理単位と入り混じっていて分かりずらかったという事かと思い、
数学における「単位」に絞って再投稿いたします。

数学で単位とは数の「1」を意味します。
例えば、単位ベクトルは長さ1のベクトルのことで
単位円は原点を中心とした半径1の円のこと。

これと同じで
虚数単位とはi²=-1を満たす絶対値1の純虚数iのこと。

これに対して、実数a,ｂを用いて表せる複素数a+biにおいて
特に　a=0 b≠0 のとき　a+biはbi　となり　これを純虚数　といいます。
→b=1ならば、虚数単位であり純虚数でもある。
純虚数は虚数単位の実数倍。
このような説明になると思います。

fxq11011 · Answer

単位は単位。
ｍ・・・長さの単位→これに純粋な長さ？なんてありません。
１０ｍ・・・・実際の長さ１０ｍ（長さの純粋な数値？）
純虚数の定義で純虚数に該当しない虚数があるなら話は別ですが。
i　が虚数単位
例　３iが虚数。
単位は数値とは無関係、虚数、純虚数、純虚数以外の虚数？、いずれも数値を持ちます。

虚数単位 と 純虚数 の違いを知りたい

・純虚数は、複素数前提の話なのでしょうか？

虚数単位と 純虚数 の違いを知る良い方法は、その考えが生まれた、１から５までの理由を知る事です。

0.2i (1/3)i 3i √3iなどは すべて純虚数ということはご理解いただけますよね。

№５です。

>数学における「単位」に絞って再投稿いたします。

固有ベクトルは同じで固有値が異なると考えればいいでしょ。

確かに数学の元の元は対応と聞いたことがあります、対応の基礎は１ですね、確かに単位は１に間違いありません。

虚数単位はi、５iは虚数。

fxq11011様の回答の意味がいまいち分からなかったのですが、

単位は単位。

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