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どういう定義かが、うまく理解できません。
どなたか詳しい方、ご指導お願いします。
できればお薦めの参考書などありましたら教えてください。

A 回答 (3件)

Umada さんの書かれているように,立体角とは普通の角(平面角)の3次元版です.



平面角の自然な測り方はご承知のようにラジアン(度でなくて)です.
ある角が,半径1の円から切り取る円周の長さ,
すなわち弧を(ラジアン単位の)角としています.
円周の長さは2πですから,ぐるっと一周の角度は2πです.
半径rの円であれば,切り取る円周の長さの1/rが角です.

同様に,立体的広がり
(ソフトクリームのコーン,メガホン,兼六園の雪吊りなど頭に描いてください)が
半径1の球面から切り取る表面積の大きさが立体角(solid angle)です.
半径rの球面なら切り取る表面積の大きさの 1/r^2 です.
単位は「ステラジアン」.

      │             \ 
 0────┤dL        0────\  dL
   r  │           r   \

平面角だったら,微小線分 dL
(本来小文字のlで書くべきですが,イチと見分けづらいので大文字でLと書いています)
に対応する微小角度 dθ は dθ = dL cos φ / r です.
φは dL の垂線と半径のなす角.左の場合なら,φ=0 ですね.
もちろん,積分したつもりで θ = L/r (あるいは θ= L cos φ / r)
なんてしちゃっちゃいけませんよ.
これじゃ,弦の長さを見ていることになってしまいます.
微小線分だから,弧も弦も同じなのです.


     │             \ 
0────┤dS        0────\  dS
  r  │            r   \

全く同様の考えで,微小面積 dS に対応する立体角は
dΩ = dS cos φ / r^2 です
φは微小面積 dS の垂線と半径のなす角.
Ω = S / r^2 なんてしちゃいけないことは平面角の場合と同じ.
例えば,Sが半径aの円板でφ=0 のときなら
Ω = 2π{1 - r/√(r^2 + a^2)}
です.
試験やレポートに出すと,
Ω = πa^2 / r^2
という誤答が続出します.
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この回答へのお礼

大変参考になりました。
ありがとうございました。

お礼日時:2001/07/15 17:26

お恥ずかしい、私の先の回答は間違えてました。

すみません。
2次元の場合の角度の定義で、割る数は半径r、
立体角では割る数は rの二乗でした。
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この回答へのお礼

基本としては、
単位長さを半径とした球で考えるのでしょうか?

お礼日時:2001/07/14 23:33

参考書を引っ張り出すほど難しいものでもないです。



2次元の角度で、ラジアン単位での計測では
「着目している角度に対応する弧の長さ÷円周の長さ」
で定義するのはご存じかと思います。

立体角はこれと似ていまして、ある球の中心から外部を見込んだ時に、
「着目している領域が球面上で占める面積÷球全体の表面積」
で定義されます。
例えば着目している領域が(球の中心から見て)四方八方を覆い尽くしている場合、立体角は4πになります。
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