立体角って？

どういう定義かが、うまく理解できません。
どなたか詳しい方、ご指導お願いします。
できればお薦めの参考書などありましたら教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2001/07/15 12:56

Umada さんの書かれているように，立体角とは普通の角(平面角)の３次元版です．

平面角の自然な測り方はご承知のようにラジアン(度でなくて)です．
ある角が，半径１の円から切り取る円周の長さ，
すなわち弧を(ラジアン単位の)角としています．
円周の長さは２πですから，ぐるっと一周の角度は２πです．
半径ｒの円であれば，切り取る円周の長さの１／ｒが角です．

同様に，立体的広がり
(ソフトクリームのコーン，メガホン,兼六園の雪吊りなど頭に描いてください)が
半径１の球面から切り取る表面積の大きさが立体角(solid angle)です．
半径ｒの球面なら切り取る表面積の大きさの 1/r^2 です．
単位は「ステラジアン」．

　　　　　　│　　　　　　　　　　　　　＼　
　０────┤dL　　　　　　　　０────＼　　dL
　　　ｒ　　│　　　　　　　　　　　ｒ　　　＼

平面角だったら，微小線分 dL
(本来小文字のｌで書くべきですが，イチと見分けづらいので大文字でＬと書いています）
に対応する微小角度 dθ は dθ = dL cos φ / r です．
φは dL の垂線と半径のなす角．左の場合なら，φ=0 ですね．
もちろん，積分したつもりで θ = L/r (あるいは θ= L cos φ / r)
なんてしちゃっちゃいけませんよ．
これじゃ，弦の長さを見ていることになってしまいます．
微小線分だから，弧も弦も同じなのです．


　　　　　│　　　　　　　　　　　　　＼　
０────┤dS　　　　　　　　０────＼　　dS
　　ｒ　　│　 　　　　　　　　　　ｒ　　　＼

全く同様の考えで，微小面積 dS に対応する立体角は
dΩ = dS cos φ / r^2 です
φは微小面積 dS の垂線と半径のなす角．
Ω = S / r^2 なんてしちゃいけないことは平面角の場合と同じ．
例えば，Ｓが半径ａの円板でφ=0 のときなら
Ω = 2π{1 - r/√(r^2 + a^2)}
です．
試験やレポートに出すと，
Ω = πa^2 / r^2
という誤答が続出します．

この回答へのお礼

大変参考になりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2001/07/15 17:26

No.2 回答者： Umada 回答日時： 2001/07/14 23:23

お恥ずかしい、私の先の回答は間違えてました。

すみません。
2次元の場合の角度の定義で、割る数は半径r、
立体角では割る数は　rの二乗でした。

この回答へのお礼

基本としては、
単位長さを半径とした球で考えるのでしょうか？

お礼日時：2001/07/14 23:33

No.1 回答者： Umada 回答日時： 2001/07/14 22:38

参考書を引っ張り出すほど難しいものでもないです。

2次元の角度で、ラジアン単位での計測では
「着目している角度に対応する弧の長さ÷円周の長さ」
で定義するのはご存じかと思います。

立体角はこれと似ていまして、ある球の中心から外部を見込んだ時に、
「着目している領域が球面上で占める面積÷球全体の表面積」
で定義されます。
例えば着目している領域が(球の中心から見て)四方八方を覆い尽くしている場合、立体角は4πになります。