No.3ベストアンサー
- 回答日時:
(1)limx→0(1+x+x^2)^1/x
これと似た極限の公式でx^2を除去したものがあります。
limx→0(1+x)^1/x=e_①
このeを底とした対数を使って(1)の対数をとると
loge{(1+x+x^2)^1/x}=(1/x}loge{1+x+x^2}
ここで対数関数の近似式としてloge{1+x+x^2}≒x+x^2の近似式があるので
(1/x}loge{1+x+x^2}≒(1/x}(x+x^2)=1+x
1+xのlimx→0の極限をとると1になる。(1)の対数をとったら極限が1になったから、
たいすうの逆演算の指数をとると、exp(1)=eとなる。
(1)limx→0(1+x+x^2)^1/x=e
別解:上記①の公式をもっと直接使うと
limx→0(1+x+x^2)^(1/x)
=limx→0(1+x)^(1/x)・(1+x^2/(1+x))^(1/x)
ドットより前の部分の極限はeとなる。ドットより後ろの部分の極限は対数をとると
limx→0 (1/x)log(1+x^2/(1+x))
(1/x)log(1+x^2/(1+x))≒x/(1+x)の極限は0になる。
よってドットより後ろの部分の極限は1となる。
No.4
- 回答日時:
(1) は対数をとれば (2) と同じようにできるので (2) だけやる.
#1 に書いたやつよりもっと直接的に f(x) = 3^x - 2^x とおくと f'(x) = 3^x log 3 - 2^x log 2 だからこの極限は
f'(0) = log 3 - log 2.
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