No.3ベストアンサー
- 回答日時:
もう一回考え直してみました。
極限 lim(x→a) f(x) = b が存在する ⇒ [given ε>0 ヨδ>0 s.t. ∀x∈R 0<|x-a|<δ ⇒ |f(x)-b|<ε]
くだけた日本語にすると、
関数f(x)の極限が存在する⇒どんなに小さいε(>0)が与えられたとしても関数f(x)のxの領域をx±δに限定した場合、関数の振れ幅はb±ε内に収めることができる。
とかんがえると、、、
・・・振れ幅をb±ε内に収めることができるδが存在しないことがあるなら⇒極限はbではない
ということになりそうですね。
[]内(ε-δ論法)の⇒は、前半部分(a,bやf(x))の定義がきっちりされていないと、意味がありませんので合わせて考える必要はありますが、、、
A⇒(B⇒C)
対偶 not (B⇒C)⇒not A
で、あとは、どうしようもないです。
A 私は日本にいるときは B 雨が降ったら C 傘をさす。
対偶
雨が降っても傘をさしていないなら、日本にいない。
この場合、B⇒Cの待遇は
傘をさしていなければ、雨が降っていない
ですけど、雨が降っていない時のことを話しても、日本にいるいないには影響を及ぼしません。
No.4
- 回答日時:
"ε-δ論法"って何ですか? あなたが、どんな視点に立って、質問しているかわかりません。
"論法"に対偶なんてあるんでしょうか。
回答諸氏を読むと意味が分かってきます。それらに応答しない、あなたの困惑もわかります。
ここで終わりたいのですが、ここでやめると、goo! 規定に反しますから、多少書いてみます。
どんな視点にいるかというと、
ある関数f(x)において(xは実数としましょう)lim(x→a)f(x)=bをどう定義するかです。
定義方法としては1 上極限、下極限で攻略するする方法。
2 デデキントの切断による方法
3 ε-δ論法
などがあります。
3 によれば 関数F(X)に対してf(x)がx=aで 上記3の論法を満たすε,δを作れればlim(x→a)f(x)=bと書こうと定義しているだけです。
そのことを理解しないと 対偶って何ですかなんて、持て余した、質問になってしまいます。
命題ではありません。
むしろε-δ論法の"否定"ってなんですかと質問するならわかります。
否定は かなりいい加減でしょうが lim(x→a)f(x)≠bです。
No.2
- 回答日時:
「ε-δ論法」をどのようなものとするかを明確にした方がいいと思う. 普通の極限の定義, つまり
任意の ε > 0 に対し適切な δ > 0 をとると任意の x に対して 0 < |x - a| < δ ならば |f(x) - b| < ε のとき lim(x→a) f(x) = b
に対して対偶を考えるなら, 結論部分の否定は
「極限が存在しない」
ではなく
「極限が存在しないか存在しても b ではない」
になる... というか, 極限が存在しないと「lim」って記号が使えないような気がするな.
あとこの話で前提部分を否定するなら当然 δ の条件は必要.
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