数学の得意な方、時間があればぜひ解いてみてください!あと答えわかったら教えてくださいっ！ a,b,c

数学の得意な方、時間があればぜひ解いてみてください!あと答えわかったら教えてくださいっ！

a,b,c,は任意の正の整数、nは2以上の任意整数とするとき
　　　　　　a^n+b^n+c^n
で表せない自然数が無限にあることを示せ。

No.11 ベストアンサー 回答者： konjii 回答日時： 2018/09/27 16:26

この問題の解には２つ示されています。

1つ目は
https://www.toshin.com/concours/mondai/answer201 …
で、a^n+b^n+c^nで表せる自然数が無限にあると仮定した場合。a^n+b^n+c^nで表せる自然数が有限個しかないとして、仮定を否定しています。
次は
http://www1.kcn.ne.jp/~mkamei/math/20170627toush …
で、a^n+b^n+c^nで表せる自然数の総数をＮ、a^n+b^n+c^nで表せる自然数の集合をＳ（Ｎ）とした場合
Ｎ－Ｓ（Ｎ）＞∞をみちびき、a^n+b^n+c^nで表せる自然数の総数は∞にあると言う、命題に反する結論で命題の正しさを説明しています。

この回答へのお礼

ありがとうございます!
頑張って解けなかった思い出があります…
懐かしいです

お礼日時：2018/09/27 16:42

No.10 回答者： konjii 回答日時： 2018/09/27 11:56

良い方法が見つかったので、以下にしめします。

この回答へのお礼

長い間お付き合いいただき、ありがとうございました!!!

お礼日時：2018/09/27 21:41

No.9 回答者： konjii 回答日時： 2018/09/27 09:06

最後に、この問題のある数学コンクールのウエブサイトを教えて下さい。

数学コンクールと言っても、日本数学コンクール、東進数学コンクール、自治体の数学コンクールや海外の数学コンクールなど沢山あります。よろしくお願いいたします。

所で、∀には、任意の、と全ての、の両方の意味があります。
また、自然数の無限集合は存在しないともあります。
http://akademeia.info/index.php?%CC%B5%B8%C2%BD% …
フェルマーの最終定理はべき数3以上ですが、何か関連でもありますか？

この回答へのお礼

去年の夏くらいの東進の数学コンクールです!
大学への数学の月刊の裏表紙の裏に載ってました

お礼日時：2018/09/27 14:59

No.8 回答者： konjii 回答日時： 2018/09/26 21:15

tsukita様

背理法の仮定
a^n+b^n+c^n
で表せる自然数が無限にある。
が
a^n+b^n+c^n
で表せない自然数が有限個しかない。
とどう適切でないか分かりません。
しつこいよいようですが背理法の仮定が適切でないと言えるのでしょうか教えて下さい。
よろしくお願いいたします。
また、
"表現不可能な自然数"の中で最大のものをＭとする。（これだけで有限とは言えないと思います）
つまり、Ｍより大きな自然数はすべて表現可能である。
Ｍより大きなべき乗数Ｌ＾Ｍをとると、この数は表現可能であるから
Ｌ＾Ｍ＝a^n+b^n+c^n
でＭとＬは期限が無いのでＬ＾Ｍは無限にもなります。
これで、a^n+b^n+c^nが有限と言えるのでしょうか？
教えて下さい。

この回答へのお礼

何度もすみません!この問題は数学コンクールの問題で、しかも完答者ゼロらしいのでとても難しいと思います！
konjiiさんの1つ目の回答を見て思ったのですが無限と任意って別物ではないですかね…
そして今回書いていたことについてですが、
表せないが無限
の否定は
表せるが無限
ではなく
表せないが有限
ではないでしょうか

ややこしいですが、
表せるが無限
を背理法で否定できても
表せるが有限
ということしか分からないと思います

また、aやnに上限がないことから少なくとも
表せるは無限　
だと思います

もしまた何か方法を思いついたらぜひ教えてください!

お礼日時：2018/09/26 21:51

No.7 回答者： tsukita 回答日時： 2018/09/25 21:00

「a^n+b^n+c^nで表せない自然数が有限個しかない」と仮定したとき、

例えば、次のように議論を展開することができます。

"表現不可能な自然数"の中で最大のものをＭとする。
つまり、Ｍより大きな自然数はすべて表現可能である。
Ｍより大きなべき乗数Ｌ＾Ｍをとると、この数は表現可能であるから
Ｌ＾Ｍ＝Ａ＾Ｎ＋Ｂ＾Ｎ＋Ｃ＾Ｎ
が、ある自然数Ａ、Ｂ、Ｃと２以上のある自然数Ｎについて成り立つ。
・・・・

などのように考察を重ねます。
こうして議論を進めていくうちに、例えば
フェルマーの最終定理に矛盾するような事実にたどり着けば
その矛盾から、命題が証明されます。

＊＊＊＊＊＊
ちなみにですが、背理法の仮定が適切でないと指摘しただけで、
証明できた、とは私は言及していません。
「任意の：∀」や「ある：∃」の意味については十分に注意が必要です。

この回答へのお礼

ありがとうございます!
参考にします

お礼日時：2018/09/26 20:25

No.6 回答者： konjii 回答日時： 2018/09/25 08:44

tsukitaさん、「a^n+b^n+c^nで表せない自然数が有限個しかない」と仮定した場合

背理法で証明する方法を教えて下さい。もやもやしています。

No.5 回答者： tsukita 回答日時： 2018/09/24 20:58

＃命題の証明はできていないのですが…

konjiiさんには恐縮ですが、lasatoさんがもやもやしているということですので…

No1～No4は背理法の仮定や問題の解釈が間違っています。
この問題を背理法で考える際の仮定は
「a^n+b^n+c^nで表せない自然数が無限にある」を否定した
「a^n+b^n+c^nで表せない自然数が有限個しかない」です。

集合S={ x | x=a^n+b^n+c^n, a,b,c∊Ｚ+, n∊Ｎ/{1}}の要素を"表現可能な自然数"と呼ぶことにすれば、「"表現不可能な自然数"が無限個ある」と主張しているのがこの命題です。

この回答へのお礼

御回答ありがとうございます！！
私もその解釈で証明しようとしてました

お礼日時：2018/09/25 00:11

No.4 回答者： konjii 回答日時： 2018/09/24 18:33

a,b,c,は任意の正の整数、nは2以上の任意整数とするとき

a^n+b^n+c^nで全ての自然数を表せると仮定した場合
３a^nでも３ｂ^nでも３ｃ^nでも全ての自然数を表せるはずですが、３ｍは表せても
３ｍ＋１、３ｍ＋２は表せないのでダメと、

a≠ｂ≠ｃの場合a＜ｂ＜ｃとすることが出来ます。
この時
a^n+b^n+c^n＝ｄ＜３c^n
ｄは３c^n未満で無限にあるとは言えません。
よって、この場合も仮定に矛盾するので、命題は正しい。

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2018/09/24 14:28

a,b,c,は任意の正の整数、nは2以上の任意整数とするときは、仮定でなく命題の一部です。

命題にしたがっているa＝ｂ＝ｃもa≠ｂ≠ｃも命題にふくまれています（ここで言う任意とは自由に取りえる正の整数です）。
仮定は、「a^n+b^n+c^nで表せる自然数が無限にあるとすると」だけです。

この回答へのお礼

何度もすみません!
ただ、まだ少しもやもやするのですが、
仮定のある特別な場合において矛盾するから、一般的に仮定は間違いだといえるということですか？

この場合、
a=b=cで矛盾だから
a≠b≠cのときも含めて一般にa,b,cが正の自然数の場合でも間違いであると言える
ということですか？

お礼日時：2018/09/24 17:02

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2018/09/24 13:34

a,b,c,は任意の正の整数なので、a≠ｂ≠cとするとdは3の倍数にならない場合がありませんか？

a,b,c,は任意の正の整数なので、a≠ｂ≠cとすることも可能です。その時はdは3の倍数になりません。
a,b,c,は任意の正の整数なので、a＝ｂ＝cとするとも可能でdは3の倍数になります。
背理法は矛盾点を１つ示せばよいのです。
また、無限という量は定義されていないので、
３の倍数が無限量あるとすれば
自然数も無限量あるし
実数も有理数も無理数も虚数部も無限量あることになります。
このことから、無限量では、３の倍数、自然数、実数、有理数、無理数、虚数部も無限では区別されないことになります。
しかしながら、少なくとも
｛３ｎ｜３の倍数｝⊂｛ｎ｜自然数｝
と言えないと
｛３ｎ｜３の倍数｝＝｛ｎ｜自然数｝
となって数学が成り立ちません。

この回答へのお礼

お答えいただき、ありがとうございます!
　背理法で無限にあることを仮定、さらに、その下でa=b=cを仮定しているので仮定が2つあります。
　そこで矛盾が出てきたとして、出てきた矛盾により否定することのできる仮定は2つ目のa=b=cではないですか？

お礼日時：2018/09/24 14:10