確率の最大について。 １個のさいころをｎ回投げるとき、１の目がちょうどｋ回出る確率をＰkとする。 ｎ

確率の最大について。
１個のさいころをｎ回投げるとき、１の目がちょうどｋ回出る確率をＰkとする。
ｎ=２０のとき、Pkが最大となるkの値を求めよ。

という問題なのですが、考え方がよく分かりません。
解答ではPk＋1/Pkを使い求めるらしいのですが、なぜこれで最大が求められるのですか？
またn＝20より、k=1.2.3.‥19とはどういうことですか？k＝20は考えなくて良いのですか？
答えは3でした。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/12/02 13:28

二項分布ですから、(1) の答は

　P(n, k) = nCk * (1/6)^k * (5/6)^(n - k)
です。

＞解答ではPk＋1/Pkを使い求めるらしいのですが、なぜこれで最大が求められるのですか？

正確に書けば
　P(k＋1)/P(k)
ですね。
・P(k＋1)/P(k) > 1 なら P(k＋1) > P(k)
だし
・P(k＋1)/P(k) < 1 なら P(k＋1) < P(k)
です。つまり、この「切り替わり」に「最大値（または最小値）」が存在することになります。
（切り替わりが存在しなければ、P(1) か P(20) が最大（または最小）になるでしょう）

＞またn＝20より、k=1.2.3.‥19とはどういうことですか？

P(k) と P(k＋1) との比較、というやり方では、最終の比較は P(19) と P(20) の比較ですから、k=19 までです。

問題を解くための「アルゴリズム」とか「戦略」を考えてみてください。数学では「計算」よりもそちらの方が大事ですから。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/12/02 15:41

ｐ１とp2、 p2とｐ３、ｐ３とp4・・・を次々に比較していけば最大が求まりますが、それでは大変です。

そこで、一般化してpkとpk+1の大小を比較します。
確率は正の数ですので、その大小比較は差を調べる（Pk+1-pk)、または比を調べる(pk+1/pk)ことが基本方針となります。
面倒なので考えませんが、本問では差を考えることよりも比を考える方が計算が楽だという理由で比を採用していると思います。
でその結果が画像のようにpk+1/pk=(20-k)/5(k+1)です。
pk+1>pkであればpk+1/pkは１より大きくなりますし
反対にpk+1<pkであればpk+1/pkは１より小さくなります。
そしてpk+1＝pkであればpk+1/pk=1です
このようにすぐ隣同士の確率の大小を一般化して比較できるわけですが、都合が良いことに
pk+1/pk=(20-k)/5(k+1)
={20-(k+1)+1}/5(k+1)
={21-(k+1)}/5(k+1)
=21/5(k+1)-1/5
でこれはkが増えるほどにpk+1/pkの数値が減少する関係にあることが分かります。
k=1とした時p2/p1>1でp20/p19<1ですからｋの値が大きくなりにつれ、初め１より大きかったpk+1/pkの値が、いつしか逆転してpk+1/pk＜１となる瞬間があるという事です。・・・①
つまり、
pk+1/pkの＞１が成り立つ範囲では
P1<p2,p2<p3・・・　で
pk+1/pkの<１が成り立つ範囲では
p20>p19,p19>p18・・・だから①であるということは
p1<p2<p3・・・pt-1<pｔ>pt+1＞・・・p18>p19>p20・・・②（混乱を避けるためｋの代わりにｔを使っています）
というように不等号の向きが変わるpｔが存在するという事
②は左端から右に行くにしたがってｐの値が大きくなり、右端から左に行くにしたがってｐの値が大きくなりますから
いわば、山の形のようなイメージでそのピークがpt。確率ptが最大という事です
だからこのピークを見つければ良いのです。
そのためには前述のようにpk+1/pkの値が１より大きい場合から、１より小さくなる瞬間を見つけることです。
kが増えるほどにpk+1/pkの数値は減少しますから、とりあいずpk+1/pk≧１となるkを調べます⇒そのような範囲はk≦2.5
これは整数k=2まではpk+1/pkの値が１より大きいが、ｋが1増えてk=3からはpk+1/pk<1となる、
言いかえればk=1or２のときはPk+1>pkだから
p1<p2<p3
同様に k=3以上ではpk>pk+1だから
p3>p4>p5・・・>p20
すなわち②のような不等号の切り替えポイントはp3にあるということを意味して
p1<p2<p3>p4>p5・・・>p20

従ってp3が山のピークですなわち最大であることがわかる　という論法です.

またn＝20より、k=1.2.3.‥19とはどういうことですか？k＝20は考えなくて良いのですか？
＞pk+1とpkを比較しているわけですから
k=1のときpk=p1,pk+1=p2⇒p1とｐ２の比較
・
・
・
ｋ＝１９のときpk=p19,pk+1=p20⇒p19とｐ２0の比較です。
これで比較のすべてを網羅しています。
k=20とすると
p20とp21の比較となりますが、p21（20回投げて１が21回出る）なんていう事は起こり得ませんからk=20以上を考えてはいけません。

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2018/12/02 13:35

期待値から考えると、さぶろく18で、しろく24で１８のほうが20に近いかから、３でしょ。

回答については、
ｐは最大値になるまで増え続け、そこからは減り続けるから、ｐｋを最大とするなら、
ｐ１＜ｐ２≦ｐｋ≦ｐ１９＜ｐ２０
という状況になる。
Pk＋1/Pkが１より大きいなら、ｐｋ+1はｐｋに比べると増えているって話で、、、
それを不等式で求めることによって、ｋを求められるって話になり、
答えは、ｐｋ+1になるので、ｋ＝１９まで調べれば、十分ということになる。
実際にはｋ＝２だから、そんな先のこと考えなくてもよかったってことになるけどね。