超越数の評価

e^e^πとπ＾π＾eの大小比較はどうすればよいですか？
e^e^xとx^x^e（x≧e)の大小関係を使おうと、
logをとり、ｇ（ｘ）＝e^x-x^e(logx)と置いて微分しましたが、やはりlogxの項が邪魔すぎてうまくいきません。

No.6 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/12/15 19:51

質問文が曖昧だから解答する気がしない。

e^e^πは、(e^e)^πとe^(e^π)のどちらの意味か不明である。π＾π＾eは、(π＾π)^eとπ^(π＾e)のどちらの意味か不明である。
質問者さんは、どちらの意味で聞いているのですか。各回答者は、どちらの意味で論じているのですか。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2018/12/14 20:52

e^(e^π):π^(π^e)

のlogをとると
e^π:(π^e)(logπ)
のlogをとると
π:elogπ+log(logπ)

2.718<e
1.144<log(3.14)<logπ
だから
3.1<2.718*1.144<elogπ
0.1<log(1.14)<log(logπ)
だから
π<3.2<elogπ+log(logπ)
だから
π<elogπ+log(logπ)
だから
e^π<e^{elogπ+log(logπ)}
e^π<e^{elogπ}e^{log(logπ)}
e^π<e^{(logπ)e}(logπ)
e^π<(π^e)(logπ)
だから
e^(e^π)<e^{(π^e)(logπ)}
e^(e^π)<e^{(logπ)(π^e)}
∴
e^(e^π)<π^(π^e)

No.4 回答者： rnakamra 回答日時： 2018/12/14 20:19

#3の方に確認。

>e^e^π=f(e)^(eπ)
こんなことになります?

f(e)^(eπ)=[e^{e^(1/e)}]^(eπ)=e^[{e^(1/e)}*eπ]=e^{π*e^(1+1/e)}
となります。
もしかすると質問者の式を(e^e)^π (=e^(eπ))と勘違いしていませんか?
e^e^πはe^(e^π)のことです。(そうでないと質問の途中のlogをとってから差を取った式が成り立たない)

No.3 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2018/12/14 19:58

e とπがともに定数なので

f(x)=x^x^(1/x)
という関数を考えると
e^e^π=f(e)^(eπ)
π^π^e=f(π)^(eπ)
となるので、f’(x) を求めて f(x)^(eπ) の増減表を作れば求められます。
取り敢えずここまでのヒントで頑張りましょう。

No.2 回答者： rinkun 回答日時： 2018/12/14 14:55

f(x)=x^x^(π+e-x) , e<=x<=π

でグラフを描いてみては?
とりあえずExcelで描いた感じでは単調増加ですね。
厳密にはf(x)を微分してみましょう。

No.1 回答者： ねこねずみ 回答日時： 2018/12/14 14:23

f(x)=x^x^(1/x)の関数を考えて大小比較