勇者ランスは、ある町に現れた3個の頭と
3本の尾をもつドラゴンを退治しにきた。
妖精は彼に、魔法の剣を与え、
その使い方とドラゴンの強さを証明した。
魔法の剣は、ひと振りで、
ドラゴンの1個の頭か、
一本の尾か、2個の頭か、
2本の尾を切り落とすことができる。
ドラゴンは、1個の頭を切り落とされても、
すぐに別の頭が再生するが、
2個の頭を一度に切り落とされると、
何も再生できない。
また、1本の尾を切り落とされると、
すぐに別の2本の尾が生えてくる。
さらに、2本の尾を一度に切り落とされると、
1個の頭が生えてくる。ドラゴンは、
全部の頭と尾が無くなり、
何も再生できないと死ぬ。
たとえは、頭が1個、尾が0本になったドラゴンは、
頭を切り落とされてもすぐ頭が
1個再生するので死なない。
また、ドラゴンは3個より多くの頭や尾をもつこともできる。
さて、ドラゴンを退治するには、最低
何回剣を振り下ろさなければならないか。
証明を付けて答えよ。
No.8ベストアンサー
- 回答日時:
#7さん、ご指摘の通りです。
間抜けでした。方法を変えて、やり直します。
ドラゴンへの攻撃とその結果は、以下になります。
頭2切断=頭2減
尾1切断=尾1増
尾2切断=頭1増、尾2減
そして、頭2切断をa回、尾1切断をb回、尾2切断をc回行った場合、
頭は、3-2a+c個、
尾は、3+b-2c本となるので、これが0になる、a+b+cが最小の非負整数の組を求めれば良いことになります。
それはa=b=c=3の場合です。
つまり、頭2、尾1、尾2を3回ずつ攻撃、合計9回、これが最小回数です。
攻撃の順番は、途中で頭尾の数が負にならない限り、関係ありません。
例えば、頭2、尾1、尾2、頭2、尾1、尾2、尾1、尾2、頭2で、ドラゴンを倒せます。
正解です。
2個の頭を切り落とすことをX,
1本の尾を切り落とすことをY,
2本の尾を切り落とすことをZとする。(頭を一個切り落とすことは意味がないので考えなくてよい。)
Xをx回、Yをy回、Zをz回行うとすると、このときのドラゴンの頭の数は
(3-2x+z)個、尾の数は(3+y-2z)本と表せる。ドラゴンが死ぬためには、
頭の数=0、尾の数=0となれば良いので 3-2x+z=0…① 3+y-2z…②
となっていればよい。n回剣を振り下ろしてドラゴンが死んだとすると、
x+y+z=n…③ ①〜③より、
x=n+12/7 y=4n-15/7 z=2n+3/7
となる。4n-15/7が0以上の整数になるような最小のnを考えればよい。
つまり4n-15が7の倍数かつ最小となるnは9,このとき x=3.y=3.z=3であり例えばYYYZZZXXXの順で剣を振ると、ドラゴンは死ぬ。よって.n=9
No.6
- 回答日時:
前の質問では、頭を1個切断しても再生するという条件だけだったので、ならば奇数個の頭のドラゴンは最後に頭1個残って、これが必ず再生する。
このドラゴンは倒せない、不死身です、と回答しようかと思ってたのですが、今回、尾2本切断すれば、頭が増えるという条件が追加されて、ドラゴンを倒せるようになりました。
ドラゴンは、頭も尾も0にする必要があるのですね、
ならば、
まず尾2本切断で、ドラゴンは頭4個尾1本になり、
次に頭2個切断を2回繰り返して、ドラゴンは頭0個尾1本になり、
さらに尾1本切断で、ドラゴンは頭0個尾2本になり、
最後に尾2本切断で、頭0個尾0本となり、ドラゴンは死にます。
以上の様に5回の攻撃でドラゴンを倒せるわけですが、これが最低の攻撃回数であることを証明するには、
4回以下の攻撃では、倒せない事を示す必要があります。
まず、頭への攻撃は、ドラゴンの尾の数に影響を及ぼさないので、尾への攻撃だけで尾を0本にする必要があります。
尾への2回の攻撃を考えたとき、以下の4通りです。
(1)尾2、尾2
(2)尾2、尾1
(3)尾1、尾2
(4)尾1、尾1
※尾1…尾を1本切断、尾2…尾を2本切断の意味。
この中で、(1)は最初の攻撃で尾は1本になるので実行不能です。
(2)(3)では尾は2本になり、(4)では尾は5本、いずれも0本になりません。
よって、尾への攻撃は3回以上必要となります。
次に頭への攻撃について。尾の切断で頭が増えることはありますが、減ることはありません。
頭が3個以上の場合、1回の攻撃(頭2個切断)では、頭0個になりません。
よって、頭への攻撃は2回以上必要になります。
以上から、頭と尾への攻撃は、合計5回以上の攻撃が必要であることが言えます。
そして、最初に示した通り、5回の攻撃でドラゴンを倒すパターンをが存在するので、これが最低の攻撃回数になります。
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