平方数の和

平方数の和を勉強していたのですが、以下の様な原理で証明出来ることはわかったのですが、大学で出された問題の証明の仕方は、ちょっと違っていて、三角の真ん中の値を3つ足すと、2n＋1になるという証明でした。
横をt、縦をsの範囲として考えるらしいのですが、考えてもわかりません。＿|￣|○
tだけや、sだけで考えてもダメでした。
どなたか教えてください。

質問者からの補足コメント

• ありがとうございます！
  考え直したらできました！

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/01/16 22:32

No.2 ベストアンサー 回答者： スチールウール 回答日時： 2019/01/14 05:16

それぞれの三角形において、座標（s,t）の値がどうなっているのかを書き出してください

例えば回転前の三角形だと、s という値のはずです…i

②の三角形だと
n- t +1…ii
でしょうか

③の三角形だと
(n+1-s) +(t-1)…iii
となります

i,ii,iiiから任意の点を足し合わせると
s+n- t +1+(n+1-s) +(t-1)
=2n +1
つまり、場所s,tによらずすべての点で2n+1となることがわかります

元の数字ピラミッドを回転させてもそこに書かれた数字の和は変化しないです
よって、三枚重ねたあとの数字の和は、元のピラミッドの和の3倍のはずです

元のピラミッドの和: Σk^2

ピラミッドの値の個数
1+2+3+…+n=n(n+1)/2

各ポジションでの和は2n+1なので、三枚のピラミッドに書かれた数字の合計は
(2n+1) n(n+1)/2

これは元のピラミッド三枚分なので全体を3で割ってやれば
Σk^2=1/6 n (n+1)(2n+1)
というよく知った式が導かれます

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
返事が遅くなり申し訳ありません！
sとtは範囲？みたいなことを言っていました。。。
③はなぜそのようになるのか教えて頂けたら嬉しいです。②もt目線でしか、その式に辿りつけなかったのですが、sも入れてその式になると言う事でしょうか？

お礼日時：2019/01/16 21:49

No.3 回答者： OTZ-STO 回答日時： 2019/01/14 05:20

s,tを使わずに説明する。

まず、一つの三角形に書かれている数を全て足すことと、平方数の和というものが等しいのは大丈夫かな。

以下は一つの三角形に書かれている数の和を求めるやり方の説明。
①②③の三つの三角形の同じ場所にある数を足すといつでも2n+1になってる。
例えば三つの三角形の一番上をそれぞれ足すと
1+n+n=2n+1
になる。上から2段目の左の数を足すと
2+n+(n-1)=2n+1
になる。このように考えると同じ場所の数を足すと2n+1になることが分かる。
そして、一つの三角形には数がいくつあるかを考えると、各段にある数の個数を足して
1+2+3+…+n=n(n+1)/2
となる。つまり、三つの三角形に書かれている数を全て足すと
(2n+1)･n(n+1)/2
=n(n+1)(2n+1)/2
となる。三つ足してこれなので一つの三角形に書かれている数の和は、3で割って
n(n+1)(2n+1)/6となる。

この回答へのお礼

返事が遅くなり申し訳ありません！
回答ありがとうございます！
その方法なら理解は出来たのですが、s.tが〜となった瞬間よくわかりなくなりまして。。。

お礼日時：2019/01/16 21:43

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/01/13 23:20

どんな問題なのかもわからなければこの絵でなにを言おうとしているのかも理解できない.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
私も説明を聞いていてよくわかりませんでした。＿|￣|○

お礼日時：2019/01/16 21:41