20！は２で何回割り切れるか

質問タイトルの問題について、２¹の倍数、２²の倍数、２³の倍数、２⁴の倍数で割った数の合計したものが解答なのですが、なぜ合計が答えになるのでしょうか。
例えば２⁴の中に２¹、２²、２³の個数が含まれているように思うのですが・・・
考え方を教えて頂けないでしょうか。

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/02/08 21:09

2と言う因数が1～20の中に何個あるか？　と言う事。

20を2で割ると10だから、2の倍数が10個ある。
これで、2と言う因数を1個ずつカウントした。

が、4の倍数には、もう1個ある。4=2×2だから、1個カウント漏れした。
カウント漏れは、20÷4=5で、5個ある。

これでokかと言うと、8=2×2×2だから、まだカウント漏れがある。
カウント漏れは、20÷8=2で、2個ある。

これで、1個ある場合から3個ある場合までカウントしたから、おしまいかと言うとまだあった。

16=2×2×2×2だから、まだカウント漏れがある。
カウント漏れは、20÷16=1で、1個ある。

これで、1個ある場合から4個ある場合までカウントした。

もう無い？
32=2×2×2×2×2だから、まだカウント漏れがあるnの？？
20÷32=0だから、もうカウント漏れはない。

全部足すと、10+5+2+1=18個。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！

お礼日時：2019/02/08 21:22

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/02/08 21:04

かぞえれば？

奇数は無視できるので

20→2個
18→1個
16→4個
14→1個
12→2個
10→1個
8→3個
6→1個
4→2個
2→1個
計18個

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2019/02/08 21:23

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2019/02/08 20:38

例えば、8 は 2² の倍数ですが、2 の倍数でもあり、2³ の倍数でもあります。

つまり、8 は 2 の倍数が 3個あるのですが、2¹,2²,2³ とそれぞれ 1個づつとしてカウントしています。
もっと数を少なくして、6！ や 10！ で実際に書き出してみたら、分かると思います。

この回答へのお礼

アドバイスありがとうございました。

お礼日時：2019/02/08 21:23

No.1 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/02/08 19:16

手を動かしてみたら？

1～20までの数字で2の倍数を列記してみる

2=2×1
4=2×2
6=2×3
8=2×2×2
10=2×5
12=2×2×3
14=2×7
16=2×2×2×2
18=2×9
20=2×2×5

2の倍数は10個あるから2の倍数で10回割り切れる。
(20÷2=10で10個が求まる）

その2を取り除く(取り除いた2を[2]と書く）
2=[2]×1
4=[2]×2
6=[2]×3
8=[2]×2×2
10=[2]×5
12=[2]×2×3
14=[2]×7
16=[2]×2×2×2
18=[2]×9
20=[2]×2×5

4,8,12,16,20は、さらに2で割れる。4,8,12,16,20は2²(=4)の倍数であって、5個ある。
(20÷4=5で5個が求まる）

また、その2を取り除く(取り除いた2を[2]と書く）
2=[2]×1
4=[2]×[2]
6=[2]×3
8=[2]×[2]×2
10=[2]×5
12=[2]×[2]×3
14=[2]×7
16=[2]×[2]×2×2
18=[2]×9
20=[2]×[2]×5

8,16は、さらに2で割れる。8,16は2³(=8)の倍数であって、2個ある。
(20÷8=2で2個が求まる）

また、その2を取り除く(取り除いた2を[2]と書く）
2=[2]×1
4=[2]×[2]
6=[2]×3
8=[2]×[2]×[2]
10=[2]×5
12=[2]×[2]×3
14=[2]×7
16=[2]×[2]×[2]×2
18=[2]×9
20=[2]×[2]×5

16は、さらに2で割れる。8,16は2⁴(=16)の倍数であって、1個ある。
(20÷16=1で1個が求まる）

合計で10個+5個+2個+1個
この個数は、20を2¹、2²、2³、2⁴で割った個数。

つまり各々のカウント漏れを足してるわけ。

この回答へのお礼

詳細な回答ありがとうございました。
とてもよくわかりました！

お礼日時：2019/02/08 21:23