数学の因数分解で複素数の範囲での因数分解と、有理数の範囲での因数分解の違いがよく分かりません。 例え

数学の因数分解で複素数の範囲での因数分解と、有理数の範囲での因数分解の違いがよく分かりません。
例えば、x^2+3x+1の場合、有理数の範囲では因数分解できないが、複素数の範囲では因数分解できるということでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： kairou 回答日時： 2019/02/16 20:41

＞有理数の範囲では因数分解できないが、複素数の範囲では因数分解できるということでしょうか？

この文章だけならば、その通りです。
但し、あなたが書いた x²+3x+1 は 違いますよ。
この式は、有理数の範囲では因数分解できませんが 無理数の範囲では 因数分解できます。
x²+3x+1=x²+3x+(3/2)²-(3/2)²+1={x+(3/2)}²-(9/4)+1={x+(3/2)}²-(5/4)
={x+(3/2)}²-{(√5)/2}²={x+(3/2)+(√5)/2}{x+(3/2)-(√5)/2}={x+(3+√5)/2}{x+(3-√5)/2} 。
複素数の範囲で因数分解できるには 似た式では、
x²+3x+3={x+(3+√3 i)/2}{x+(3-√3 i)/2} となります。

No.1 回答者： mabuterol 回答日時： 2019/02/16 18:11

まぁ結局は (x - α)(x - β) と因数分解した時の α と β が実数か複素数かという事で。

実数であったとして、それが有理数か無理数かという事で。