複素関数の問題です f(z)=z^4/(z^6+1) のz=αを極としたときz=αにおける留数を求め

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質問者：ラフィール
質問日時：2019/03/30 00:41
回答数：4件

複素関数の問題です

f(z)=z^4/(z^6+1)
のz=αを極としたときz=αにおける留数を求めろという問題がわかりません。

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回答 (4件)

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No.3ベストアンサー

回答者：ありものがたり
回答日時：2019/03/30 01:22

一般的には、(z-α)^k f(z) が k ≧ n のとき z = α で正則、

k < n のとき z = α で非正則になるような α と n の組を求めるのだけれど、
この例題では f(z) が有理関数だから、部分分数分解するだけでいい。
有理関数は特異点を極しか持たず、その極は部分分数分解に全て現れるから。

z^6 + 1 = 0　⇔　z^6 = -1 = e^(iπ)　⇔　z = e^(i(π+2kπ)/6)　(kは整数)　より、
z^6 + 1 = {z - e^(iπ/6)}{z - e^(iπ3/6)}{z - e^(iπ5/6)}{z - e^(iπ7/6)}{z - e^(iπ9/6)}{z - e^(iπ11/6)}.
分母が重根を持たないから、部分分数分解は f(z) = Σ(定数)/{z - e^(i(π+2kπ)/6)} という形になる。
つまり、z = e^(i(π+2kπ)/6) はどれも１位の極である。

1位の極 z = α での f(z) の留数は lim[z→α](z-α)f(z) で求められる。ここでは、
lim[z→α](z-α)f(z) = lim[z→α](z-α)(z^4)/(z^6+1) = lim[z→α](z^4)/{ (z^6+1)/(z-α) }
= (α^4)/(6α^5+0) = 1/(6α).
2行目へ移る計算は、α^6+1=0 より lim[z→α](z^6+1)/(z-α) = (d/dz)(z^6+1)_[z=α] だから。

まとめると、極 e^(i(π+2kπ)/6)　(k = 0,1,2,3,4,5)　での
留数が　(1/6)e^(-i(π+2kπ)/6).