微分積分？

子供の数学で分からないところをどなたか教えてください。微分だと思います。

半径が8cmの球状のチーズから、(図の様に)円柱状のチーズをくり抜きます。円柱状のチーズの体積が最大になる時の体積を計算して求めなさい。
A cylinder of cheese is to be removed from
a spherical piece of cheese of radius 8cm.
What is the maximum volume of the
cylinder of cheese?

No.1 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2019/03/30 20:05

円柱の上面、下面の円の半径をr、円柱の高さを2hとする。

球の中心をO、円柱の上面の円と球面との接点をA、円柱の上面の円の中心をBとすると、
AB=r、OB=hなので、△OABに三平方の定理を用いて、h²+r²=8²=64
また、h、rの変域は、0<r<8、0<h<8であることが判る。

円柱の体積Vは、V=πr²･2hなので、
V=2πr²h
=2π(64-h²)h　（∵h²+r²=64）

f(h)=h(64-h²)=-h³+64hとおくと、f'(h)=-3h²+64であり、0<h<8の範囲において、
h=(8/3)√3のときにf(h)は極大かつ最大であることが判る。
（注：この部分、増減表を書いて下さい）

以上により、求める最大値は、2π{64-(64/3)}･(8/3)√3=(2048/9)√3･π

この回答へのお礼

よ〜く分かりました！！！
ありがとうございました。

お礼日時：2019/03/30 20:12