二直線の傾きの積が−1の場合、その二直線が直交しますが、直交はしてもx=0とｙ＝0のような場合。

二直線の傾きの積が−1の場合、その二直線が直交するというのは有名ですが

では傾きがないけど二直線が直交する場合
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例えばx=0とｙ＝0って確かに直交しますがこれは数学的にどう考えたら良いんでしょうか？
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教えていただきたいです。

No.5 ベストアンサー 回答者： sasa-san 回答日時： 2019/06/14 21:29

三角関数で考えてみるとよいかもしれませんね。

傾きは、Δy/Δx で表されるので
ある直線の傾きは、sinθ /cosθ となります。
そしてこの直線に直交する直線は、元の直線をπ/2だけ回転させたものなので、
直交する直線の傾きは、sin(θ+π/2) /cos(θ+π/2) =cosθ /(-sinθ) となります。
＃傾きは単位円の中で表せる

したがって、この二直線の傾きを掛け合わせると
(sinθ /cosθ)×(cosθ /(-sinθ))=-1
となるわけです。

当然ながらこの式から、
θ=0であっても、傾きの積が−1であることを説明できます。
＃角度に因らないということです


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ではどうして x=0 と y=0 の傾きの積が-1になるかを考えてみましょう。
y=0 の傾きをa
x=0 の傾きをb
とします。
この際、それぞれの傾きは a=0、b=-∞ のように思えるはずです。

そこで
a=lim a[n]=lim[n→∞] 1/n =0　　　＃θ→+0　イメージとしては右回りに0に近づける
b=lim b[m]=lim[m→∞] -m =-∞　　　＃マイナスがついているのはθ'→+π/2だから
とおいてみると、
傾きの積は、
a×b=lim[n→∞] 1/n × lim[m→∞] -m 　　　＃（=0× -∞　となる？）
と表せることなり、あなたが思っている疑問通りになります。

ですが、
三角関数のときに考えたように、傾きは単位当たりの傾きなのだから、
n=mとして考えることができることに注目すると、実際には
a=lim[n→∞] 1/n =0
b=lim[n→∞] -n =-∞
が正しく、
a×b=lim[n→∞] 1/n ・lim[n→∞] -n
=lim[n→∞] {1/n × (-n)}
=lim[n→∞] -1
= -1
という計算式になることがわかります。


最初に傾きを0や-∞と決めつけて考え始めると
どうやっても計算できませんね。

この回答へのお礼

ここにまとめてお礼をさせて頂きます。ご回答してくださった方ありがとうございました。感謝申し上げます。

お礼日時：2019/06/30 11:49

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/06/14 01:32

傾きが垂直の直線は傾きが無限大、つまり傾きで垂直な直線の向きを

現すことは出来ない。
ベクトルと媒介変数で表す直線にはこういう制約はないです。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2019/06/13 14:26

傾きでは 説明が出来ないでしょうね。

グラフ上の図形とすれば x 軸、y 軸
又は それに平行な直線は 直交することが
分かる と云う事ではダメですかね。

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/06/13 01:06

傾きだとx軸, y軸に平行な直線の場合成立しません。

考え方を拡張して、x軸/y軸平面上の任意の2直線

ax+by+c=0
dx+ey+f=0
（a,b,c,d,e,f：実数）

が直交するための条件とすると、

ad+be=0

が一般解になります。
これだとx=g, y=h（g,h：実数）の場合も対応できます。

No.1 回答者： ぷらぐろまあ 回答日時： 2019/06/13 00:44

数学的に0だけは特殊ですから。

-1÷0が幾つになるとか、
もし、-1÷0=0が成り立つなら、
0×0=-1になってしまうとか。。