数Aです。(2)の求め方が分かりません。答えは3:5です。求め方を教えてください。

数Aです。(2)の求め方が分かりません。答えは3:5です。求め方を教えてください。

No.5 回答者： sasa-san 回答日時： 2019/09/12 19:40

問題文から、三角形ABQと三角形ACRは同じ面積であることが分かります。

△ABQ=△ACR
これらから共通部分AROQを取り除いた二つの三角形も同じ面積であることから、
△BOR=△COQ
が成り立ちます。

ここで三角形AOCに注目します。

仮に三角形AOQの面積を1とおくと、AQ:QC=1:3 なので
△AOQ=1、△COQ=3
となります。△BOR=△COQ なのだから
△BOR=3
三角形AOBにおいて、AR:RC=1:3 なので
△AOR=1
ということもわかります。

三角形ACRの面積は
△ACR=△AOR+△AOQ+△COQ=1+1+3=5
となり、
三角形ABCにおいて、AR:RB=1:3 なので、三角形BCRの面積は
△BCR=5×3=15
となります。

三角形OBCの面積は、△BOR=3 であることから、
△OBC=△BCR-△BOR=15-3=12
だとわかります。
また、三角形ABCの面積は、△BCR=15 であり、RB:AB=3:4 なので
△ABC=15×(4/3)=20
ということもわかります。

したがって、
△OBC:△ABC=12:20=3:5
が導かれます。


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△AOQ=1 と仮定して、他の三角形の面積を相対的に求めていく方法です。
BP:PC=△AOB:△AOC
と表すことができるので、BP:PC=1:1 もわかりますね。

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/09/06 15:22

次のように考えておくのも良いでしょう（後半ではマーク式などに使えるテクニックとして解説しておきます）

AQ:CQ=1:3より
△ABQ:△CBQ=1:3
⇔△CBQ=3△ABQ
△AOQ:△COQ=1:3
⇔△COQ=3△AOQ
従って
△ABO:△CBO=(△ABQ-△AOQ):(△CBQ-△COQ)
=(△ABQ-△AOQ):(3△ABQ-3△AOQ)
=(△ABQ-△AOQ):{３(△ABQ-△AOQ)}
=M:3M　（←←←△ABQ-△AOQ＝Mと置いた場合）
=1:3…①
同様にして
BR:AR=３：１より
△CBO:△CAO=３：１…②
①②をあわせると
△ABO:△CBO：△CAO=1:3:1
ゆえに△ABOの面積を１とすれば、△CBO＝３、△CAO＝1で
△ABC=△ABO+△CBO+△CAO=1+3+1=5
従って△OBC:△ABC=3:5


この事から分かることは、中学生で習った知識である、
AQ:CQ=1:3なら△ABQ:△CBQ=1:3に加え、
そこから△AOQと△COQをくりぬいて残った図形（凹四角形ABOQ）は、BQ(BO)によってAQ:CQ=1:3の比に分割されて
△ABO:△CBO=1:3になるということです。

このような「くりぬき型の比」を知っていても、記述式では証明なしでこれを使う事は出来ません。
しかし、この知識を元に図を見ただけで△ABO:△CBO：△CAO=1:3:1が浮かんでくるものです
したがって、記述不要のマーク式などでは、労せずして答えを得られますので、
「くりぬき型の比」は記憶にとどめておきたいところです。

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2019/09/05 09:00

三角形ABCにおいて、チェバの定理を用いて

AR/RB*BP/PC*CQ/QA=1
3/1*BP/PC*1/3=1、BP/PC=1からBP:PC=１：１
次に
三角形ACPで、メネラウスの定理を用いて
AQ/QB×BP/CB×PO/OA=1
1/3×2/1×PO/OA=1
PO/OA=3/2、OA：OP=２：３からAP:OP=５：３
三角形OBCと三角形ABCの底辺は同じなのでそれらの比は高さの比になる。
高さの比は辺OPと辺APの比に等しい。
よって、
三角形OBC：三角形ABC＝３：５

となりますが、チェバの定理とメネラウスの定理を覚えるのは、語呂合わせもなくて
非常に難しいので、この後に習うベクトルで解く、＃１さんの方法が入試にも有効で
良いと思います。

No.2 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/09/05 00:00

△ABPで、メネラウスの定理を用いて

AR/RB×BC/CP×PO/OA=1
1/3×2/1×PO/OA=1
PO/OA=3/2

PO=3/5PA

△OBC：△ABC＝3：５

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/09/04 23:14

△OBC と △ABC で BC を底辺と見ると、高さの比は OP：AP なので、

面積比は △OBC：△ABC = BC・OP/2：BC・AP/2 = OP：AP です。
この部分がピンとこなければ、A から BC へ降ろした垂線の足を H とし、
O を通り AH に平行な直線と BC との交点を K として、
△APH∽△OPK を考えてみてください。OP：AP = OK:AH が判ると思います。
そんなことしなくても、ピンときたほうがいいんですけど。

OP：AP を求めるには、→AO を →AB と →AC で表してみましょう。
(1) で、→AP = (1/2)(→AB) + (1/2)(→AC) であることは判っていますね？
O が線分 BQ 上にあることから →AO = t(→AB) + (1-t)(→AQ),
線分 CR 上にあることから →AO = u(→AC) + (1-u)(→AR）と書くことができ、
また →AQ = (1/4)(→AC), →AR = (1/4)(→AB) であることから
t(→AB) + (1-t)(1/4)(→AC) = u(→AC) + (1-u)(1/4)(→AB） が成り立ちます。
→AB, →AC の係数を比較して t = (1-u)/4, u = (1-t)/4、
連立方程式を解けば t = u = 1/5 です。
→AO = (1/5)(→AB) + (1/5)(→AC) なので →AO = (2/5)(→AP)、
AO：AP = 2：5 より OP：AP = 3：5 と判ります。