大学数学 数列の極限の問題がわかりません

数列{an}を考える。an>0とする。
a(n+1)/an=α(n→∞)の時、anのn乗根がn→∞でαに収束することを示せ
と言う問題がわかりません。nは自然数です。
よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 示すべきことはわかっているので問題文の意味はわかっていますが？
  a(n+1)/an＝α(n→∞)の定義をどう変形してanのn乗根がαに収束するという定義にするのかがわからないので示せなくて質問してるんですが？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/09/22 23:18

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/09/22 23:00

具体的にはどこでわからなくなっているんでしょうか? まさか, 「問題文の意味そのものがわからない」わけではない... ですよね?

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/09/23 00:30

b(n) = a(n+1)/a(n) と置くと、

log b(n) = log a(n+1) - log a(n) より log a(n) = log a(1) + Σ[k=1...n-1] log b(k).
(1/n) log a(n) = (1/n) log a(1) + ((n-1)/n) ・ (1/(n-1)) Σ[k=1...n-1] log b(k).　←[1]
よって、lim (1/n) log a(n) = lim (1/n) log a(1) + lim (n-1)/n ・ lim log b(n)　←[2]
= 0 + 1 ・ log lim b(n) = log α. これを使って、
lim { a(n) }^(1/n) = lim exp log { a(n) }^(1/n) = exp lim (1/n) log a(n) = exp log α
= α.

[1]から[2]への変形に、lim b(n) = β が収束するとき
lim (1/n) Σ[k=1...n] b(ｋ) = β という定理を使っている。
この定理、教科書に載っていたよね？

この回答へのお礼

探したところ教科書に載っていました！
とても助かりました！ありがとうございました（^人^）

お礼日時：2019/09/23 06:15