数学についてです。 写真の数式の収束、発散の判定をしてください。

数学についてです。　
写真の数式の収束、発散の判定をしてください。

質問者からの補足コメント

• a[n] = n^(1/n) に対し
  lim[n→∞]{ a[n] }^(1/n) = lim[n→∞]{ n^(1/n) - 1 }
  の部分で右辺の-1はどこから出てきたのですか？
  また回答していただいたものが収束するのは理解できたのですが、写真の問題は回答していただいたものをn乗したものなのに、同様に収束するものなのでしょうか？理解力が低くて申し訳ありません。回答お願いします。

    補足日時：2019/10/24 09:50

• lim[n→∞]{ a[n] }^(1/n)=lim[n→∞]{n^(1/n)-1 }^(1/n) = lim[n→∞]{ n^(1/n) - 1 }
  の計算過程がよくわかりません。
  度々質問して申し訳ないのですが、教えてください。

    補足日時：2019/10/25 07:51

No.5 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/10/24 12:35

＞a[n] = n^(1/n) に対し

＞lim[n→∞]{ a[n] }^(1/n) = lim[n→∞]{ n^(1/n) - 1 }
＞の部分で右辺の-1はどこから出てきたのですか？

すみません、落字でした。
＞ a[n] = { n^(1/n) - 1 }^ｎ に対し
に差し替えてください。
それ以降の文章も、そうでないと話が繋がりません。

この回答へのお礼

理解できました！
ありがとうございました！

お礼日時：2019/10/25 07:53

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/10/23 18:22

大丈夫です。

見て分かる通り、自分自身で回答してますって。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/10/23 17:45

級数の収束判定法はいろいろありますが、

この例ではコーシーの判定法が使いやすそうですね。

a[n] = n^(1/n) に対し
lim[n→∞]{ a[n] }^(1/n) = lim[n→∞]{ n^(1/n) - 1 }
= { lim[n→∞]n^(1/n) } - 1,

lim[n→∞]n^(1/n) = exp log lim[n→∞]n^(1/n)
= exp lim[n→∞] log( n^(1/n) )
= exp lim[n→∞] (log n)/n,

0 ≦ lim[n→∞] (log n)/n = lim[x→∞] x/e^x　； x = log n と置いた
≦ lim[x→∞] x/{ 1 + x + (1/2)x^2 } = 0.

以上より、lim[n→∞]{ a[n] }^(1/n) = exp(0) - 1 = 0 です。
lim が収束しているので、limsup[n→∞]{ a[n] }^(1/n) = 0 でもあります。

正項級数に対するコーシーの収束判定法とは、
L = limsup[n→∞]{ a[n] }^(1/n) の値が
0 ≦ L < 1 のとき Σ[n=1→∞] a[n] は収束,
1 < L のとき Σ[n=1→∞] a[n] は発散するというものです。
定理の証明は、教科書に必ず載っていますから、そちらを読んでください。
よく使われるダランベールの収束判定法よりも
適用できる級数の範囲が広いのが特徴です。

この例では、L = 0 ですから、Σ[n=1→∞] a[n] は収束します。

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/10/23 16:47

無限級数の和の「収束」「発散」は

コーシーの収束判定法、などを使います。

後は自分で検索して調べる。
最近、この手の投稿がヤケに多すぎる。

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2019/10/23 15:55

その式が、

nの増加に伴って大きくなる　⇒発散
nの増加に伴って小さくなる　⇒収束
です。
ご自身でご確認ください。それが勉強するという事になります。