代数的整数論(J.ノイキルヒ)の演習問題で 任意の素イデアルが極大イデアルとなるネーター環はアルティ

代数的整数論(J.ノイキルヒ)の演習問題で

任意の素イデアルが極大イデアルとなるネーター環はアルティン環になる。(教科書では任意のイデアルの降鎖列が停留する。)


という命題を示せというものがあります。

環Rがアルティン環である必要十分条件はRの次元が0かつRがネーター環となることですが、

上の命題の反例としてRをデデキント環とすれば良いと思います。

なのでこの命題は成り立たないと思うのですがもしこの命題の証明をご存知の方がいたら教えてください。また自分の主張が間違っていればどこが間違っているか教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/11/01 20:39

「

任意の素イデアルが極大イデアルとなるネーター環はアルティン環になる。
」
という命題の反例は

任意の素イデアルが極大イデアルとなるネーター環
で
アルティン環でない
反例
でなければなりません

Z=(整数環)はデデキント環だけれども
整域だから
0イデアルは素イデアルだけれども
0イデアルは極大イデアルでないので
任意の素イデアルが極大イデアルとならないので
反例になりません