No.1ベストアンサー
- 回答日時:
模範解答が間違っていなければ、
あなたが勘違いしています。
その証明の中心となるのは
“数学的帰納法”のはずです。
背理法に見えるのは、数学的帰納法の
プロセスの一部に過ぎません!
No.5
- 回答日時:
「全ての自然数 x に対して a_x ≠ 3」と
「全ての自然数 y に対して a_(y+1) ≠ 3」は、全く同じ命題です。
x = y+1 で対応させているだけです。
No.4
- 回答日時:
a(n+1)-an={-(an-3)^2}/(an-5) ・・・・・(*)
を使って
初期数列a1=1<5より 次のことが証明できる。
prop: 任意のnについてan<3 ・・・・・(#)
1)n=1のときは自明
2)n=kのとき(#)だと仮定する。
n=k+1とすると(*)より ak-5<0からa(k+1)<akが満たされる
よってn=k+1としても OK
以上(#)は成立する
このように考えれば簡単にan≠3 for ∀n∈N であることが分かる。
しかし、背理法でもなかなか面白いことにan≠3 for ∀n∈Nだということが分かる。
ある自然数mについて
a(m+1)=3だと仮定する。
3=(am-9)/(am-5) ⇔ am=3
これを繰り返すとa1=3であることが明らかで、初期数列の条件a1=1から
矛盾する。よってan≠3 for ∀n∈N
No.3
- 回答日時:
「すべての自然数nに対して(an)≠3」の否定は、「(an)=3となる自然数nが少なくとも1つは存在する」です。
模範解答は、この命題を仮定した時に矛盾が生じることを示して元の命題を証明、つまり背理法による証明を行っています。
そして、ここでさらに模範解答は、数学的帰納法の応用を加えて使うことにしました。
(a1)=1≠3は明らかで、各項は直前の項に依存していますから、「(an)=3となる自然数nが少なくとも1つは存在する」というのは、「(an)≠3の時に、(an+1)=3となる自然数nが少なくとも1つはある」と同じことを意味します。
つまり、(a2), (a3),(a4), …のどこかで、(an)≠3から(an+1)=3に転換するところがなければいけない、ということです。
この時、(an)≠3は前提なので、これが成り立つかどうかは考える必要がないことに注意してください。
この仮定に基づいて矛盾を示せば、元の命題を証明できることになります。
実際に、「(an)≠3の時に、(an+1)=3となる自然数nが少なくとも1つはある」と仮定してみると、 (an)=3という結論が出てきてしまい、ここで当初の仮定との矛盾を示せます。
別の言い方をすれば、(an+1)=3が成り立つためには(an)=3でなければならず、同様に(an-1), (an-2), (an-3),…, (a2), (a1)もすべて3でなければならない。
しかし、(a1)=1≠3
従って、「(an)=3となる自然数nは存在しない」≡「すべての自然数nに対して(an)≠3」ということが言え、元の命題が証明できたことになります。
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