群論の部分群を求める問題についてです。 Z_12の部分群を全て求め、ハッセ図を図にしろ。 という問題

群論の部分群を求める問題についてです。
Z_12の部分群を全て求め、ハッセ図を図にしろ。
という問題なのですが、図はなんとなく分かるのですが、肝心の部分群の求め方が悩んでいます。
学校の授業のテキストだと、例えば、Z_6だと、
Z_6 = { 0,1,2,3,4,5 }
の集合であって、{0}に1を追加すると、{0,1}。これは部分群ではない。なぜなら1+1=2が集合に入っていないとマズイから。2を追加すると{0,1,2}という集合になるが、これも部分群ではない。1+2=3も入っていないとまずいから。3を追加すると{0,1,2,3}という集合になる。このように、部分群になるために必要な元を追加していく作業を続けると、最終的に全ての元を追加しなければならない。だからZ_6であって、Z_6自体はZ_6の部分群である。
ここで疑問なのですが、1+1=0となって、{0,1}はZ_6の部分群である、と解決できないのでしょうか？
少々こんがらがってしまい、群論にもまだ慣れていないので、どなたか解説してくださると助かります。また、Z_12の部分群も求めてくださるとうれしいです。

質問者からの補足コメント

• ハッセ図のZ_6の図です。

  
    補足日時：2020/07/04 20:27

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2020/07/04 22:02

> 1+1=0となって、{0,1}はZ_6の部分群

1+1 はmod 6 では2になるよ？