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次の等式の成立の証明を、一文字消去(これは出来ました)以外のやりかたでできるかた。ぜひ、やりかたを教えてください。

a+b+c=0 のとき

6(a^5+b^5+c^5)=5(a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3)

A 回答 (3件)

happines-snowさんへ


揚げ足とりなんてとんでもない
訂正してくださってありがとうございます。

shuudaiさんへ
こういう対称式の問題は
a+b+c,ab+bc+ca,abc
の3つですべてを表現できることも覚えておくといいですよ。
ちなみに
a+b=0 のとき
6(a^5+b^5)=5(a^2+b^2)(a^3+b^3)を示せ。
という問題でしたら(c=0 にしただけですが)
a+bとabの2つで
a^5+b^5、a^2+b^2、a^3+b^3
を表していけば良いわけです。
もっとも この場合はa=-bを代入すれば一発ですが。
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すみません。

なんだか上げ足を取るようでなんなのですが。。。

shushouさんへ
次の恒等式はもし暗記してなかったら暗記しましょう。
(a^2+b^2+c^2)=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
ちゃいますか?
ごめんなさい。。
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a+b+c=0より


a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=-2(ab+bc+ca) (1)
a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc=3abc (2)

よって、右辺=5(a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3)
      =-30abc(ab+bc+ca)
一方 
a^5+b^5+c^5
=(a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3)
-(a^2b^2(a+b)+a^2c^2(a+c)+b^2c^2(b+c))
=(a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3)
-(-a^2b^2c-a^2c^2b-b^2c^2a) (∵ a+b=-c,a+c=-b,b+c=-a)
=(a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3)
+abc(ab+bc+ca)
=-6abc(ab+bc+ca)+abc(ab+bc++ca) (∵(1),(2))
=-5abc(ab+bc+ca)
であるから
左辺=6(a^5+b^5+c^5)=-30abc(ab+bc+ca)
よって左辺=右辺となりますね。

次の恒等式はもし暗記してなかったら暗記しましょう。
(a^2+b^2+c^2)=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
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