数学の質問です。

nを自然数とする。n個の箱すべてに、1から5までの5種類のカードがそれぞれ1枚ずつ合計5枚入っている。各々の箱から、1枚ずつカードを取り出し、取り出した順に左から並べたn桁の数Xを作る。このとき、Xが3で割り切れる確率はいくらですか？

No.1 回答者： 銀鱗 回答日時： 2020/08/17 23:50

ええと。

作られる数字は”11111”から”55555”までの44445種類。
そして３で割り切れる数の個数は、
　(”1”から”55555”までの数字で３で割り切れる数の個数)－(”1”から”11110”までの数字で３で割り切れる数の個数）
を計算すれば良い。

マジでこんだけのことです。
難しくは無いよね。

”1”から”10”までの数字で３で割り切れる数の個数は、
　10÷3
で求められるよね。
そして、”11”から”20”までの数字で３で割り切れいる数の個数の求め方は分かるよね。
すでに上で説明している。


・・・ここがポイント・・・
＞各々の箱から、1枚ずつカードを取り出し、取り出した順に左から並べたn桁の数Xを作る。
これ、「ｎ桁」と言ってるけど、5桁の数字だよ。
全部の箱からカードを出すって言ってるんだ。カードの枚数は5枚になるだろ。

No.2 回答者： metabolian 回答日時： 2020/08/18 03:16

n=kの場合の、求める確率をP(k)とします。

n=1のとき → 1個の箱から3を引いた場合だけだから、P(1)=1/5。
n=2のとき → 2個の箱の左から1枚ずつ引いて2桁の数を作る。「シラミつぶし」でもいいですが、ちょっと工夫してみます。
「1〜5を3で割った余り」に着目すると、
R1=(1, 4)、R2=(2, 5) 、R0=(3)
の3つのグループに分かれます。
「できた2桁の整数Xの各位の余りが
いくつなら3で割り切れるか」を
考える作戦です。2桁なら、
①[R1][R2] ② [R2][R1] ③ [R0][R0]
の3パターンあって、
①は10の位と1の位が(1,4)(2,5)で、
2*2=4通り。
②も同様に、2*2=4通り。
③ は33 だけで1通り。
すると、P(2)=(4+4+1)/5^2=9/5^2
n=3のとき → 3桁の整数なら、
① 各位に[R1]、[R2]、[R0] が
それぞれ1回ずつ使われている。
② 3つの位の余りが同じ。
[Rm][Rm][Rm] （m=0,1,2）
の2パターンあって、
①は [R1]、[R2]、[R0] を1回ずつ
使うパターンが6通り。
[R1]、[R2] が各2通りで[R0]が1通りだから
6*(2*2*1)=24通り。
②は、m=0の場合は、“333”の1通り。
m=1,2のときは、それぞれ2*2*2=8通り。
よって、P(3)=(24+1+8+8)/5^3=41/5^3
…とまあ、こんな感じでやってくんでしょうけど、まだ規則性がちょっと見えないですねぇ…。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/18 19:33

X を 3 で割った余りが d である確率を、p(n,d) と置きます。

求めたいものは、 p(n,0) です。

p(1,0) = 1/5,
p(1,1) = 2/5,
p(1,2) = 2/5,
p(n+1,0) = p(n,0)・(1/5) + p(n,1)・(2/5) + p(n,2)・(2/5),
p(n+1,1) = p(n,0)・(2/5) + p(n,1)・(1/5) + p(n,2)・(2/5),
p(n+1,2) = p(n,0)・(2/5) + p(n,1)・(2/5) + p(n,2)・(1/5)
が成り立ちます。
n+1 枚めに何のカードを引くと X を 3 で割った余りがどう変わるか
を考えると、漸化式の意味が解ると思います。

計算上は、漸化式を逆用して
p(0,0) = 1,
p(0,1) = 0,
p(0,2) = 0
を初期値にしたほうが扱いやすいでしょうか。

p(n,0) + p(n,1) + p(n,2) = 1 を利用して漸化式を整理すると、
p(n+1,0) = p(n,0)・(1/5) + { 1 - p(n,0) }・(2/5)
になります。 この式は
p(n+1,0) - 1/3 = { p(n,0) - 1/3 }(-1/5)
と変形できるので、等比数列を考えて
p(n,0) - 1/3 = { p(0,0) - 1/3 }(-1/5)^n
と解けます。

つまり、求める確率は
p(n,0) = 1/3 + { 1 - 1/3 }(-1/5)^n = 1/3 + (2/3)(-1/5)^n
です。