リーマン積分可能であることの証明

大学の数学で質問したいことがあります。積分の定義についてです。
リーマン可積分の例題を解いていまして、f(x)=x^2(0≦x≦1)がリーマン可積分であることをダルブーの定理の主張から、過剰和と不足和の差が0に収束することを示す方法で解きましたが、これで正しいでしょうか？

[0,1]の分割Δを、Δ：0=x[0]<x[1]<x[2]<…<x[n]=1とする。
さらに|Δ|=max(x[k]-x[k-1])(1≦k≦n)、I[k]=[x[k-1],x[k]](1≦k≦n)とおく。

閉区間I[k]におけるinf{f(x)}とsup{f(x)}をそれぞれm[k]とM[k]とおくと、
m[k]=(x[k-1])^2、M[k]=(x[k])^2となる。

すると過剰和と不足和の差は
Σ(k=1~n)(M[k]-m[k])(x[k]-x[k-1])
=Σ(k=1~n)(x[k]+x[k-1])(x[k]-x[k-1])^2
ここでx[k]+x[k-1]≦2、x[k]-x[k-1]≦|Δ|より
≦Σ(k=1~n)2|Δ|(x[k]-x[k-1])
=2|Δ|(x[n]-x[0])
=2|Δ|

となる。|Δ|→0のとき、2|Δ|→0となるので、過剰和と不足和の差は|Δ|→0の時に0に収束することから、ダルブーの定理よりf(x)=x^2(0≦x≦1)がリーマン可積分であることが示された。

No.2 ベストアンサー 回答者： xixixi 回答日時： 2020/09/16 15:28

過剰和の下限 S と不足和の上限 s に対して，s = S であることがリーマン可積分の定義なら，正しいです。

ダルブーの定理は S と s の各々がそれぞれ過剰和と不足和の |Δ| → 0 のときの極限と一致するということですから，ご質問で書いておられるとおりダルブーの定理によって s = S を示したことになります。

この回答へのお礼

お礼が遅くなりまして申し訳ございません。
ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2020/09/18 00:57

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/09/16 13:56

＞ 過剰和と不足和の差は|Δ|→0の時に0に収束することから、ダルブーの定理より

じゃなく、区間で有界な関数については
|Δ|→0 の時に過剰和と不足和の差が0に収束すること
が、ダルブーの定理なんじゃないの？

これを使ってよいなら、今回の問題は
「 f(x) = x^2 は 0≦x≦1 で有界だから、ダルブーの定理より
∫[0,1]f(x)dx は収束する。」でオシマイ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。ダルブーの定理について勘違いしていたようです。

ではダルブーの定理を使わない場合は、これで大丈夫でしょうか？

お礼日時：2020/09/16 14:56