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7時と8時の間で、時計の長針と短針が直角になる時刻を求める問題を式に表すとどうなりますか?

A 回答 (8件)

7時と8時の間ということは、短針は左下のほうを向いています。


それと直角になる長針の位置は、右下の20〜25分の間か
左上の50〜55分の間にあります。
20〜25分の位置は、 (7 + x/60)/12 = x/60 + 90/360
を解いて x = 240/11 [分],
50〜55分の位置は、 (7 + x/60)/12 = x/60 - 90/360
を解いて x = 600/11 [分].
方程式は、短針と長針がそれぞれ文字盤の何周ぶん回転したか
を考えて立てました。
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長針 1時間=60分 360度動きます(1周回るから)


短針 1時間=60分  30度動きます(360度の12等分の1だけ動くから)

長針 60分:360度=1分:6度
短針 60分:30度=1分:1/2度

長針は1分で6度動いて、短針は1分で1/2度動くことがわかります。

長針と短針が重なるまで、長針は短針に近づいていきます。
どれだけ近づいていくかというと、1分で6度近づくのだけど、短針は1/2度離れようとしてしています。したがって、
1分で6-1/2=11/2度
近づきます。
長針と短針が重なってからは、長針が1分で6度離れますが、短針は1分で1/2度追いつこうとしていますので、
1分で11/2度離れていきます。

この長針が短針に何度近づけばいいかを考えます。
7時なので、もともと長針と短針の角度は30度×7=210度あります。
長針と短針が90度になるので、210度-90度=120度
長針が短針に120度近づけばいいということです。
1分で11/2度近づくので、120度なら何分か。
120÷11/2=120×2/11=240/11分

重なった後の90度は
210度+90度=300度
長針が短針に300度近づいた。
追い越しちゃいますが近づくときも離れていくときも1分で11/2度で同じなので気にせず、
1分で11/2度、300度なら何分か。
300÷11/2=300×2/11=600/11分

式は
6-1/2=11/2
210-90=120
120÷11/2=240/11
210+90=300
300÷11/2=600/11
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NO1 さんの回答の様な 考え方が、分かり易いと思います。


但し、この問題の場合、長針が短針に 90° 近づく場合と、
重なってから 更に 90° 多く回る場合の 2回あることにも 気が付いてくださいね。
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角度を ’離れている距離’ と薄々 考えてみると判りやすいかな



いま 長針と短針が210度はなれていて それが90度になるには
あと 120度縮まればよい

その120度を 長針と短針が1分間で進む角度の差で割れば
何分後に90度になるかがわかる

したがって数式は以下のとおり

120÷(360/60−30/60)
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12時方向を0°で時計回りとすると、短針は210°から出発


長針は0°から出発。

短針1時間で30°、つまり1分に0.5°
長針は1時間で360° つまり1分で 6°
回るので、その差は 5.5°/分

初期の差 210°が90度に減るには
(210-90)/5.5 ≒ 21.82分後≒21分49秒後

一旦同じ方向に合わさり、90°差がつくのは
(210+90)/5.5 ≒ 54.55分後≒54分33秒後
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求める時刻を7時x分とします。


12時の位置から長針の位置までの角度、短針の位置までの角度をそれぞれ表して、
その差が±90°という式を作ります。

スタート時の長針の位置は12時の位置なので角度は0°、
短針の位置は7時の位置なので角度は360°×(7/12)=210°

長針は60分間で360°進むので、1分間では 360/60=6°
短針は60分間で30°進むので、1分間では 30/60=(1/2)°

7時x分の長針の位置の角度は、6x
7時x分の短針の位置の角度は、210+(1/2)x

これより、求める式は、
210+(1/2)x-6x=±90
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1時間内なので、分単位で計算するのが良いでしょう。


長針の位置は、θL=360/60*m+360/(60*60)*s[度]
短針の位置は、θs=360/12*h+360/(12*60)*m+360/(12*60*60)*s[度]
になります。
ここで、hは時、mは分、sは秒の、それぞれの経過時間です。
この、差分が45[度]となるhmsを求めれば良いです。
2回あります。
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小学校とかの算数で出てくる時計算ですね。


長針は1時間で360度、短針は30度回転するんだから、長針の方が330度多く回転する。つまり1分あたりに直せば5.5度多く回転することになる。
7時の時点で両者の角度は210度の角度があったわけで、それが90度になるには、長針が120度多く回れば良いわけで、だとすれば、120度を5.5度で割れば、それが何分後かわかります。
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