3x+4y+5z=xyzを満たす自然数x,y,zの組のうち、xが最大のものは

3x+4y+5z=xyzを満たす自然数x,y,zの組のうち、xが最大のものは
という質問の回答として

x=(4y+5z)/(yz-3)　だから

xが最大の時
(yz-3)は最小だから
yz-3=1
yz=4
となる。

という回答があった。正解のような気がするのですが、なぜ、「(yz-3)は最小」
と言えるのだろうか？
教えてください。

質問者からの補足コメント

• なかなかむつかしい問題と言うことが分かりました。
  回答された皆さん、ありがとうございました。

    補足日時：2020/10/19 20:57

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/10/19 01:52

x = (4y+5z)/(yz-3) = (4/z) + (5z + 12/z)/(yz-3)

と変形できます。 z > 0 より 5z + 12/z > 0 なので、
z を固定して y を動かす際には
yz-3 = 1 のとき x が最大になります。
このとき、 x = (4y+5z)/(yz-3) = 16/z + 5z です。

あとは、 z の範囲を求めて　←[1]
16/z + 5z を最大にする z を探せばよいのですが、
yz-3 = 1 から y, z の候補は
(y,z) = (1,4), (2,2), (4,1) に絞られているので、　←[2]
x = (4y+5z)/(yz-3) に戻って
(y,z,x) = (1,4,24), (2,2,18), (4,1,21) より　←[3]
最大の x は 24 です。

上記の答案には、微妙な箇所があります。
[1] と書きましたが、実際 z の範囲は求めていないので
[2] の時点で z = 4, 2, 1 が全て z の範囲に入っている保証はありません。
このため、[3] で現れる x の値が全て自然数だとは限らなかったのです。
結果的に全て自然数でしたが、これは偶然です。
本来は、[3] の中から自然数では最大のものを選ぶ必要がありました。
そこをうまく記述しないと、答案としては不完全かもしれません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
論理としては、やはり微妙だと思います。元の回答がさらっとしていた
のでもっと簡単かと思いました。ありものがたりさんでもスパッといか
ないのなら難しいのかも知れません。

元々、特に思い入れは無いので、しばらくして完了にしたいと思います。
kairouさんもありがとうございました。

お礼日時：2020/10/19 18:43

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2020/10/18 20:40

NO1 です。

＞y, zは分子にもあり、y,zが小さくなると分子も小さくなりますよね。

では、y, z に適当な数字を 当てはめてみて下さい。
例えば、y=z=3, y=z=2 や y=4, z=5 ; y=1, z=4 とか。
自分で 確かめてみて下さい。
分母と分子では 小さくなる度合いが違うのです。

この回答へのお礼

申し訳ないですが、そういうのは私の考える証明とは違います。
書いてある通り、それで済むならわざわざ質問しないのですが。

お礼日時：2020/10/18 21:01

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2020/10/18 20:00

x,y,z は自然数ですから 分子の (4y+5z) は 自然数になります。

分数は、分子が同じ自然数なら 分母が小さい方が
分数の値は 大きくなりますね。
例えば (10/5)<(10/4)<10/2) ですよね。

ですから (yx-3) が一番小さくなった時に
x=(4y+5z)/(yz-3) の値が 一番大きくなります。

この回答へのお礼

それはわかるんですが、y, zは分子にもあり、y,zが小さく
なると分子も小さくなりますよね。

お礼日時：2020/10/18 20:13