kを0ではない実数の定数とする。二次関数g(x)=kx²－6x－k＋（12/k）＋2について、全ての

kを0ではない実数の定数とする。二次関数g(x)=kx²－6x－k＋（12/k）＋2について、全ての実数xに対してg(x)>0となるようなkの値の範囲を求めよ
ご教示下さいm(_ _)m

No.3 回答者： springside 回答日時： 2019/10/28 09:39

平方完成の必要なし。

k>0と判別式<0というだけのこと。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2019/10/27 20:57

言葉を変えると、y=g(x) のグラフが 常に正の値をとる様な k の値を 求めることになりますね。

つまり、x² の係数が 正 で、判別式が 負 になれば良いことになります。
この考え方の方が 計算が楽かも。
当然答えは 同じになりますが。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/10/24 23:14

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11341949.html の
No.2 が教えてくれているように、二次関数を平方完成して
g(x) の最小値が >0 になるようにすればいいです。

まず、g(x) が最小値を持つように k > 0.
g(x) が最小値を持たなければ、0 以下の数 m に対しても
g(x) < m となる x が存在してしまいますからね。

その上で、平方完成
g(x) = kx^2 - 6x - k + （12/k） + 2
= k{ x^2 - (6/k)x } - k + （12/k） + 2
= k{ (x - (3/k))^2 - (9/k^2) } - k + （12/k） + 2
= k(x - (3/k))^2 - (9/k) - k + （12/k） + 2
= k(x - (3/k))^2 + (-k^2 + 2k + 3)/k
から g(x) の最小値は (-k^2 + 2k + 3)/k.

全ての実数 x に対して g(x) > 0 は
(-k^2 + 2k + 3)/k > 0 と同値だから、k > 0 と併せると
-k^2 + 2k + 3 > 0 となる k の範囲を求めればいい。
この二次不等式は -(k+1)(k-3) > 0 と因数分解できるので、
答えは k > 0 かつ -1 < k < 3.
つまり 0 < k < 3 です。