自然数の逆数の和について

4つの異なる自然数a.b.c.dの逆数の和をsとします。
sが1より小さいときに、sの最大値はいくつでしょうか？

また自然数の個数を任意の自然数にまで拡張した時に
総当たりでなくsの最大値の求める方法はあるのでしょうか？

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2012/02/06 14:18

ああ、しまった…

A No.2 は、あまりにも愚かだった。
忘れといてください。

No.3 回答者： tmpname 回答日時： 2012/02/05 00:04

> A No.1 の構成では、どれか一つの自然数を元より小さくすると、

> 引き換えにどの自然数をどれだけ大きくしても、和が 1 を超えます。

そうでもありません。例えば{2,3,7,43}で43を42に変えて、7を8に
変えると、和は（元よりも小さくはなりますが）55/56 =0.9821....で
1よりは小さいです。

質問者の方も書いていますが、問題は一つ前の構成に単に新しい
数を加えるだけでよいのか、（つまり、一つ前の構成の
部分をいじる必要があるのでは？）というのがすぐには
分からない所にありますが、実はよく知られた問題です。
例えば以下をご覧ください。

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwasen/ …

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2012/02/04 22:52

ある一組の自然数よりも大きな「逆数の和」を作るためには、

少なくとも一つの自然数を元より小さくしなくてはなりません。
A No.1 の構成では、どれか一つの自然数を元より小さくすると、
引き換えにどの自然数をどれだけ大きくしても、和が 1 を超えます。

No.1 回答者： DJ-Potato 回答日時： 2012/02/04 18:17

Sが１より小さい、という条件なので、N個まで確定した段階で、追加するN+1個目の自然数は、S(N+1)<1となる最小の自然数で良いと思うんですけどね。

S(1) = {2} = 0.50000
S(2) = [2,3} = 0.83333
S(3) = {2,3,7} = 0.97619
S(4) = {2,3,7,43} = 0.999446
S(5) = {2,3,7,43,1807} = 0.999999

この回答への補足

私も自然数を追加していくだけだと思うんですが
それが本当に最大値を与えているのかどうか
数を取り直したらそっちのほうが大きくなるのか
気になって質問してみました。

補足日時：2012/02/04 20:24