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数列{an} の a1=1 an+1=(7an-1)/(4an+3) n=1,2,3,4,・・・
この数列の anの一般項を求めたいのですが
私の計算では
an= [ 1/{(94/45)×10^(n-1) - (4/45)} ] + 1/2
なのですがあってますでしょうか。正解が問題集に書いてないので
どなたかお願いいたします。
(やり方は x=(7x-1)/(4x+3)でx=1/2を計算して
(an+1)-1/2= {(7an-1)/(4an+3)} -1/2を出して解きました。)

問題文を添付いたします。

「数列{an} の a1=1 an+1=(」の質問画像
gooドクター

A 回答 (3件)

与式 a[n+1]=(7a[n]-1)/(4a[n]+3) より、


a[2]=(7-1)/(4+3)=6/7

a[2]=[ 1/{(94/45)×10^(2-1) - (4/45)} ] + 1/2
=[ 1/{(940/45) - (4/45)} ] + 1/2
=(45/936) + 1/2
=(5/104) + 1/2
=(5/104) + 52/104
=57/104

なので、残念ながら違うね。

特性方程式をx=(7x-1)(4x+3)とすると、
x(4x+3)=7x-1
4x^2 - 4x + 1=0
(2x-1)^2=0
x=1/2

a[n+1] - 1/2=(7a[n]-1)/(4a[n]+3) - 1/2
(2a[n+1]-1)/2=2(7a[n]-1)/2(4a[n]+3) - (4a[n]+3)/2(4a[n]+3)
(2a[n+1]-1)/2=(10a[n]-5)/2(4a[n]+3)
2a[n+1]-1=5(2a[n]-1)/(4a[n]+3)

両辺の逆数をとると、
1/(2a[n+1]-1)=(4a[n]+3)/5(2a[n]-1)
=(4a[n]-2+5)/5(2a[n]-1)
=(2(a[n]-1)+5)/5(2a[n]-1)
=(2/5) + 1/(2a[n]-1)

1/(2a[n+1]-1) - 1/(2a[n]-1)=2/5

1/(2a[n]-1)=1/(2a[1]-1) + (2/5)(n-1)
=1/(2-1) + (2/5)(n-1)
=1+(2/5)(n-1)
=5/5 + (2n-2)/5
=(2n+3)/5

2a[n]-1=1/{(2n+3)/5}
=5/(2n+3)
2a[n]=5/(2n+3) + 1
=5/(2n+3) + (2n+3)/(2n+3)
=(2n+8)/(2n+3)
=2(n+4)/(2n+3)

ゆえに、a[n]=(n+4)/(2n+3)

n=2を代入すると、

a[2]=(2+4)/(4+3)=6/7

で与式を満たしていることが分かる。
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この回答へのお礼

ああ、計算ミスありました。丁寧な説明ありがとうございます。
もう一度解いてみます。

お礼日時:2020/12/20 18:14

> a1=1 an+1=(7an-1)/(4an+3)


a_2=(7a_1-1)/(4a_1+3)=6/7

> an= [ 1/{(94/45)×10^(n-1) - (4/45)} ] + 1/2
a_2=[ 1/{(94/45)×10 - (4/45)} ] + 1/2 =…

と、最初の数項を計算して結果が一緒になるかを見るだけでも計算ミスしてるかはある程度判別できますよ。多分a_2の値違いますよね。
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この回答へのお礼

本当ですね。検算すべきでした。ありがとうございます。

お礼日時:2020/12/20 18:12

a[n+1] = (7a[n]-1)/(4a[n]+3)


とりあえず、ま、
  b[n] = 4a[n] + C
としてみると、
  a[n] = (b[n] - C)/4
であり、
  b[n+1] = 4a[n+1] + C
  = ((7 + C)b[n] - (C + 2)^2 ) / (b[n] - C + 3)
これを単純な式にしたいんで、
  C = -2
にすると
  b[n+1] = 5b[n] / (b[n] + 5)
なので、
  c[n] = 1/b[n]
とすれば
  c[n+1] = c[n] + 1/5
そして
  c[1] = 1/b[1] = 1/(4a[1]-2) = 1/2
なので
  c[n] = (3 + 2n)/10
  b[n] = 10/(3 + 2n)
  a[n] = (10/(3 + 2n) + 2)/4
  = (n + 4)/(2n + 3)
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この回答へのお礼

ありがとうございます。もう一度やってみます。

お礼日時:2020/12/20 18:12

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