テンソル積、ｋ代数

A,Bをｋ代数、ＭをＡ加群、ＮをＢ加群とする。
この時、
Ａ⊗Bの元a1 ⊗b1とa2 ⊗b2に対して（a1 ⊗b1）・（a2 ⊗b2）=a1a2⊗b1b2なる積が定義でき、Ａ⊗Bがｋ代数になる。
（証明）上の写像がwellーdefinedすなわち①（Ａ⊗B）×（Ａ⊗B）→Ａ⊗Bという双線形写像で、
②（a1 ⊗b1,a2 ⊗b2）→a1a2⊗b1b2と写すものがあればそれを演算としてｋ代数となる。
とあるのですが、どうして双線形写像である必要はあるのでしょうか？②については納得していますが、①の必要性がピンときません。
教えていただけないでしょうか。

質問者からの補足コメント

• 回答ありがとうございます。
  加法＋に関してですが、A⊗Bはｋ加群なので、すでに加法＋とｋ加群からの作用が定まっています。
  これに積・を定義して、環とするとき、ｋ代数となるということが本問の主張のようです。

    補足日時：2021/03/03 17:10

• 回答ありがとうございます。つまり
  ①環としての分配則a × (b + c) = (a × b) + (a × c), および (a + b)× c = a × c + b × c
  ②積演算の結合測a × (ｋ × ｂ) = (ｋ × a) × b=k×（a×ｂ）を満たさなくてはならない。
  これは双線形性を満たすということと同じという理解で良いでしょうか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/03/03 21:07

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/03/03 20:20

そうか、なるほど。

質問の点としては、
加法の双線形性が、環としての分配法則になるじゃない。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/03/03 16:15

道具立てが足りない。

Ａ⊗Bに、乗法だけで加法を定義していないじゃないか。
加法を定義しないと、 ×が双線型もへったくれもない。