
A,Bをk代数、MをA加群、NをB加群とする。
この時、
A⊗Bの元a1 ⊗b1とa2 ⊗b2に対して(a1 ⊗b1)・(a2 ⊗b2)=a1a2⊗b1b2なる積が定義でき、A⊗Bがk代数になる。
(証明)上の写像がwellーdefinedすなわち①(A⊗B)×(A⊗B)→A⊗Bという双線形写像で、
②(a1 ⊗b1,a2 ⊗b2)→a1a2⊗b1b2と写すものがあればそれを演算としてk代数となる。
とあるのですが、どうして双線形写像である必要はあるのでしょうか?②については納得していますが、①の必要性がピンときません。
教えていただけないでしょうか。
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回答ありがとうございます。
加法+に関してですが、A⊗Bはk加群なので、すでに加法+とk加群からの作用が定まっています。
これに積・を定義して、環とするとき、k代数となるということが本問の主張のようです。
回答ありがとうございます。つまり
①環としての分配則a × (b + c) = (a × b) + (a × c), および (a + b)× c = a × c + b × c
②積演算の結合測a × (k × b) = (k × a) × b=k×(a×b)を満たさなくてはならない。
これは双線形性を満たすということと同じという理解で良いでしょうか?