有効数字

V=9.8×2.0+9.8この計算で
=19.6+9.8
=29.4
　≒29
なんで最終的な答えが29なんですか？
有効数字の計算は計算途中では考慮する有効数字の1桁多いところまで含めて計算し、後から揃える
、足し算では計算結果の末位をもっとも末位の高いものに合わせるのではないのですか？

No.8 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/05/12 11:13

No.3&4&5 です。

「物理」カテに同じような質問をしているのは、#4 で

＞＞えーとじゃあこの計算の答えを29とした解答作成者は、単に問題の条件に有効数字2桁で書かれたものがいっぱいあるから計算（掛け算足し算）のルールを無視して2桁で書いているということですか？

に対して

＞そういうことでしょうね。

と回答してしまったために混乱してるのかもしれないので、ちょっと補足します。

これは「計算（掛け算足し算）のルールを無視して」ということに賛同しているわけではなく、その後に

＞「9.8 × 2.0」の結果を重視して、最終的な計算結果を「2桁」に丸めているのだと思います。

と書いているように、「かけ算と足し算が混在している」ので、個別のルールを機械的に適用するのではなく、全体の判断として「かけ算」で決まる有効桁数（2桁）が全体を支配するとして、最終結果の桁数を「2桁」に決めているのだ、ということが言いたかったのです。

「計算のルール」などという機械的なものではなく、全体の「精度」「誤差」「確からしさ」をどのように評価するか、ということが大事なのです。

なので、#5 に書いたように「例えば質問時に挙げた29.4も解答の一つとして正しいですか？」に対しては「十中八九 No」という回答になります。
小数点以下には「確からしさがない」のです。
もし小数点以下まで書いたら、あたかも「それが真値である」かのような誤った情報を発信することになるのです。

物理カテに出している同じような質問に対しても、同じような回答になります。

この回答へのお礼

あっわかりました。全体的に信用できるところまで表しておけばいいのですね。解決しました！何度も何度も答えていただきありがとうございました。
ベストアンサーに選ばせていただきます。

お礼日時：2021/05/12 16:03

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/12 15:56

有効数字の計算ルールを厳格に適用するならば、

あなたの計算のほうが正しい。
ただし、有効数字ルール自体が数学的には根拠のない
誤差評価としてはとてもいい加減なものなので、
厳格に適用する理由もあまりなくて、筆者は
おそらく No.4 に書かれたようなばんやりした理由で
なんとなく計算しているのだと思います。

厳密にやりたいのであれば、有効数字ルールではなく、
9.75 ≦ a < 9.85,
1.95 ≦ b < 2.05,
9.75 ≦ c < 9.85
より、
28.7625 = 9.75×1.95+9.75 ≦ ab+ｃ < 9.85×2.05+9.85 = 30.0425
です。
≒ 29 は、有効数字ルールでは 28.5 以上 29.5 未満の数を表しますが、
数学的に正しい誤差はそれよりもっと大きいことが見て取れるでしょう。

有効数字計算なんて、本来いい加減なものなので
細部にこだわってもしかたがないのです。

この回答へのお礼

そうなんですかー。学校では「めっちゃ大事」みたいに言ってたのに軽くしか触れられていなかったので変なのと思っていたので回答を読んで納得できました。

お礼日時：2021/05/12 16:06

No.9 回答者： yhr2 回答日時： 2021/05/12 11:25

No.8 です。

あまりいろいろと情報を提供するとかえって混乱するかもしれませんが、そもそもの「有効数字」というのは、大学以上の学術レベルでやる「誤差評価」というものを、簡易的に「有効桁数」ということで処理するためのものです。
本来の「誤差」は、下記のような「誤差伝播の法則」というものにのっとって評価する必要があります。大学以上、あるいは学会などの学術論文では、こういった「誤差評価」が必須です。「有効数字」などという簡易手法で済ませたら、そんな論文は信用されません。
↓
誤差伝播の法則
http://www.tagen.tohoku.ac.jp/labo/ishijima/gosa …

#3, #5 でも紹介した、下記の「有効数字」の記事でも、最初に「ここで説明するのは高校までに習う暫定的な簡易ルール。大学生以上は使用禁止？！」と書いてあるとおり、ある意味で高校生までのルールです。
↓
https://eman-physics.net/math/figures.html
（これの「次の記事」に、「誤差の伝播」の記事が出て来ます）

でも、「有効数字」は、いろいろ話題になったり、テスト結果をそれで採点される割には、高校ではきちんとした説明はされていないみたいですね。

質問者さんの疑問も、学校でききちんとした説明がなされていないのが原因だと思います。なかば同情します。

No.7 回答者： finalbento 回答日時： 2021/05/12 10:07

お礼コメントに対して少し物言い。

解答作成者さんは「計算(かけ算足し算)のルールを無視して」なんかいませんよ。現に数学上の計算結果である「29.4」をちゃんと書いてるじゃないですか。もし本当に「計算のルールを無視」していたら、そもそも計算自体できるわけありません。


他の回答にも書いてありますが、元になった数値は9.8も2.0も2桁なので、出て来た29.4も2桁である29に直したと言うただそれだけです。質問文にある「足し算では計算結果の末位をもっとも高いものに合わせる」と言うのがどう言う事かよく分かりませんが、有効数字の考え方から言えば計算結果である29.4のうち末尾の4は「信用できない値」となるはずです。


元々有効数字と言う考え方は「まあ、この辺までは信用していいだろう」と言うある意味いい加減なものなので、質問文にあったような「足し算では計算結果の」云々と言った個々のルールを頭からカッチリ覚えると言うのではなくて「どの数字までは信用できるか」と言う感性で判断した方がいいと思います。

この回答へのお礼

わかりました。解決しました！ありがとうございます。

お礼日時：2021/05/12 16:01

No.6 回答者： konjii 回答日時： 2021/05/12 08:57

参考例

（１） ９．８＊と２．０＊小数点以下2桁目は曖昧＊です。
積は、９．８＊ｘ２．０＊
　積は　　９．８＊
　　　　ｘ２．０＊
　　＿　＿　＿　＿　＿　＿
　　　　　　　　９＊　８＊　＊＊
　　　　　　０　０　　０＊
　　１　９　６　２＊
　　　＿　＿　＿　＿　＿　＿
　　１　９．６ (9*+2*) (8*)(**)
このように、小数点以下2桁目は曖昧＊です。
よって、有効数字は19.6になります。

（２） 9.8*小数点以下2桁は曖昧＊です。

　　　　　１　９．６ (9*+2*) (8*)(**)
+　 ９．８＊
＿　＿　＿　＿　＿　＿
　　　　　２　９．４(9*+2*+*)(8*)(**)
　　　　　　
と小数点以下2桁目に曖昧＊が混じってきます。
よって、有効数字は小数点以下１桁までで、２９．４となります。

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2021/05/11 23:21

No.4 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞もう一つ質問なのですが、有効数字って決めるのあやふやなところがあるから、例えば問題集で解答が一つしか書かれていなくても他にもokな解答があってもおかしくないですか？

はい。
計算に使われる数値や、計算結果に対して、どの程度の誤差があると評価するか、どの程度の正確さと考えるかによっては、桁数の取り方や表記のしかたが変わる可能性はあり得ます。
いずれにしても「真値」が分からないとすると、どの程度の真値と推定するかが確定しないからです。

＞例えば質問時に挙げた29.4も解答の一つとして正しいですか？

おそらくそれはないです。「29.4」の「0.4」までの精度がないのは明らかなので、「29.4」は「正確ではない」と判断されて、十中八九「間違い」とされると思います。
計算結果に対して、どの程度の精度があるか、どの程度の正確さと評価するかという洞察や推定がなされていないと判断されるためです。

#3 にあげたリンク先を読んでみてください。
↓
https://eman-physics.net/math/figures.html

例えば、下記のような記載があります。

「直径 30.0 mm の円の円周の長さをなるべく正確に知りたい」と言うと,知ってる限りの正確な円周率を電卓に叩きこんで,出てきた結果をそのまま最後まで無駄なく使って 94.2477796077 mm などと教えてくれたりする.この数値のどこまでが確かな数字だと言えるだろうか.

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2021/05/11 22:47

No.3 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞えーとじゃあこの計算の答えを29とした解答作成者は、単に問題の条件に有効数字2桁で書かれたものがいっぱいあるから計算（掛け算足し算）のルールを無視して2桁で書いているということですか？

そういうことでしょうね。
「9.8 × 2.0」の結果を重視して、最終的な計算結果を「2桁」に丸めているのだと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ごめんなさいもう一つ質問なのですが、有効数字って決めるのあやふやなところがあるから、例えば問題集で解答が一つしか書かれていなくても他にもokな解答があってもおかしくないですか？例えば質問時に挙げた29.4も解答の一つとして正しいですか？

お礼日時：2021/05/11 22:59

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2021/05/11 20:57

計算に用いる数値は、「表示されている桁の１つ下を四捨五入したもの」であり、その程度の誤差をもっているものと考えるというのが「有効数字」の考え方です。

これでやってみれば
　9.8 とは 9.8 ± 0.05 のこと
　2.0 とは 2.0 ± 0.05 のこと
ということで計算してみれば、かなりいい加減な計算だけど

　9.8 × 2.0
　　↓
　(9.8 ± 0.05) × (2.0 ± 0.05) = 9.8 × 2.0 ± 0.59

みたいな感じになります。

これに「9.8 ± 0.05」を加えると
　9.8 × 2.0 + 9.8 ± 0.64
みたいな感じ。

　9.8 × 2.0 + 9.8 = 29.4
だから、計算結果は
　29.4 ± 0.64 ≒ 28.8 ～ 30.0
みたいな感じ。

さあ、どこまで信用できるかな、というのが有効数字の考え方。
上から2桁目も結構怪しいよね。
真ん中をとって、「29」ぐらいにしておこう、という結構いい加減な割切りが「有効数字」です。


「有効数字」とは、計算処理などによって「端数」が出た場合に、どこまでの桁を表示するか、どこまでの桁を「信用できる」と判断するかという数値の処理方法です。

通常は、問題の条件で与えられた数値と同じ桁数までは「信用できる」として、その１つ下の桁の数値を「四捨五入」して結果の数値とします。
与えられた数値の桁がまちまちの場合には、最も少ない桁数に合わせます。

そもそも「有効数字」とは、本当はきちんと「誤差」を明記しないといけないところを、簡易的に「表示する桁数」として処理する方法です。
基本は、
　〇.〇〇
と書かれた数値があったら、表示された桁の１つ下に
　〇.〇〇 ± 0.005
の誤差を持っていると考えることです。
（正確には、-0.005、+0.00499999･･･ の「小数点以下３桁目を四捨五入した、と考える)
これをたとえば「100倍」したら
　〇〇〇 ± 0.5
になって、信用できる数字は整数桁までのやはり「3桁」で、小数以下は「誤差」ということになります。

高校生までが使う「簡易的なやり方」と考えればよいもので、数学的にも科学的にも、たいして意味のあるものではありません。
厳密にいえば、「乗除算」のときには「桁数」で考え、「加減算」のときには「絶対桁」で考えないといけないのですが、通常混在しているので、かなりいい加減に「桁数」だけで押し通すことが多いです。
その程度に「いい加減」なものです。

こんなサイトを参考にしてください。考え方が書いてあります。
↓
https://eman-physics.net/math/figures.html

この回答へのお礼

えーとじゃあこの計算の答えを29とした解答作成者は、単に問題の条件に有効数字2桁で書かれたものがいっぱいあるから計算（掛け算足し算）のルールを無視して2桁で書いているということですか？

お礼日時：2021/05/11 21:12

No.2 回答者： angkor_h 回答日時： 2021/05/11 19:26

> 計算は…有効数字の1桁多いところまで含めて

これは満足しています。

> 足し算では計算結果の末位をもっとも末位の高いものに合わせる
これも、満足しています。

> なんで最終的な答えが29なんですか？
貴方が満足する答えとは？

この回答へのお礼

29.4ではないかと思いました。

お礼日時：2021/05/11 19:48

No.1 回答者： head1192 回答日時： 2021/05/11 19:21

9.8も2.0も9.8も、有効数字が２ケタだから。

有効数字２桁の観測値から有効数字３桁の結果を出すことはできない。
それは、センチメートルまでしか測っていないのにミリメートルまでの結果を出すのと同じことである。