おしえて

1次独立かどうかについて

解決済

質問者：nomorethan
質問日時：2021/05/19 16:40
回答数：2件

2 つの関数が微分方程式の解であるとするとき，これらの関数が一次独立であるかを調べ
なさい．

(1)cos^2(x), sin^2(x)
(2)logx, log(x)^2

ロンスキー行列式を使って求めようとしたのですが、Δ(x)が定数ではなっかたのでどうすればよいかわかりません教えて下さい。

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回答 (2件)

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No.1ベストアンサー

回答者：ありものがたり
回答日時：2021/05/19 20:06

(1)

cos^2(x) + sin^2(x) = 1 だから、一次従属です。

(2)
A log(x) + B log(x)^2 = 0 を解くと、
A ≠ 0 のとき
　　x = e^0, e^(-b/a) となって x は任意の実数になりません。
A = 0 のとき
　　B ≠ 0 ならば x = e^0 となって x は任意の実数になりません。
　　B = 0 ならば、任意の実数 x で式が成り立ちます。
よって、恒等的に A log(x) + B log(x)^2 = 0 が成り立つのは
A = B = 0 のときだけです。すなわち、log(x), log(x)^2 は一次独立です。