次の微分方程式の特殊解を求めたいです (D^2+D-2)y=xe^x-e^-x この解き方を教えてく

次の微分方程式の特殊解を求めたいです

(D^2+D-2)y=xe^x-e^-x
この解き方を教えてください

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/06/17 23:02

微分演算子法で解きます。

公式　(1/f(D))F(x)=exp(ax)(1/f(D+a)){exp(-ax)F(x)}

　f(D)=D²+D-2 , F(x)=x exp(x) , a=1
として
　(1/f(D))F(x)=exp(x)(1/{(D+1)²+(D+1)-2}){exp(-x) x exp(x)}
　　　=exp(x)(1/{D²+3D}){x}

(1/{D²+3D}){x} は山辺の方法が簡単( Ax²+Bx+C として定数を決め
てもよい)。
http://yuru2physics.blog.fc2.com/blog-entry-327. …
すると
　(1/{D²+3D}){x}=x²/6-x/9
となる。つまり、解は
　(x²/6-x/9)exp(x)・・・・・①

同様に F(x)=exp(-x) , a=-1　として
　(1/f(D))F(x)=exp(-x)(1/{(D-1)²+(D-1)-2}){exp(x) exp(-x)}
　　　=exp(-x)(1/{D²-D-2}){1}
　　　=-(1/2)exp(-x)
となる。

これを①と重ね合わせて
　(x²/6-x/9)exp(x)-(1/2)exp(-x)