ヘッセ行列について質問です。数学得意な方お願いします。 利潤関数f=20000L^0.4k^0.4-

ヘッセ行列について質問です。数学得意な方お願いします。
利潤関数f=20000L^0.4k^0.4-1000L-2000Ｋという式がある。
ヘッセ行列を用いて(1)で求めた労働量と資本量のもとで利潤は極大、極小いずれかを実現しているかについて説明せよ。と言う問題があるのですが、
(1)は利潤が極地を持つための一階の条件を満たす、労働と資本の量を求めよ。と言う問題で労働量L、資本量Kそれぞれについて偏微分をした式が

∂f/∂L=8000L^-0.6K^0.4-1000=0

∂f/∂K= 8000L^-0.4K^-0.6-2000=0
これを連立方程式で解いて
K=4096 L=8192になりました。
ここから(2)をどうやって解くのかを教えてほしいです。
数学が得意な方にお聞きしたいです。お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/21 09:27

(2)って何やねん。

(1)で求めた臨界点が極値であるかどうか判定しろ
ってことなんだろうけど... 普通の日本語で書けない？

＞ヘッセ行列を用いて
って問題文に書かれてあるようだから、それに従う。
テイラー展開を考えると、臨界点(勾配が零ベクトルになる点)
では、f はヘッセ行列を係数とする2次形式で2次近似される。
2次形式が極大か極小か極値でないかは、係数行列の
固有値の正負を見れば判る。

質問の f は
　　∂²f/∂L²　 = -4800(L^-1.6)(K^0.4),
　　∂²f/∂L∂K = 3200(L^-0.6)(K^-0.6),
　　∂²f/∂K²　 = -4800(L^-0.4)(K^-1.6)
だから、 (K, L) = (4096, 8192) でのヘッセ行列 H は
　　-75/256　　25/256
　　25/256　　-75/1024.
固有値の正負は (1024/25)H で考えても同じだから、
　　-12　　4
　　4　　　-3
の固有値を求める。
固有方程式 (-12-λ)(-3-λ) - 4・4 = 0 を解いて、
　　λ = (-15±√145)/2.
これが両方とも負だから、
(K, L) = (4096, 8192) で f は極大値となる。

この回答へのお礼

(1024/25)はどうやって出てきたんでしょうか？

お礼日時：2021/06/21 16:09

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/21 18:48

＞ (1024/25)はどうやって出てきたんでしょうか？

固有値の計算が楽になるように、
各成分の共通因子を適当に括りだしただけです。
アレは、やらなくてもかまいません。
H の固有方程式 (-75/256-λ)(-75/1024-λ) - (25/256)(25/256) = 0
を直接解いて、解が両方とも負数であることを示せば十分です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/12433531.html

この問題が分からなくて困っています。わかりますでしょうか？

お礼日時：2021/06/28 17:05

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2021/06/21 14:47

>そのヘッセ行列を使って解く過程を途中式含めて教えてくれませんか？

　問題は「極大、極小いずれか」だから、その点で極値をとるかどうかを判定することだけを求めている。そして、Hessianの固有値が同符号なら極値をとるし、異符号なら鞍点になっている。だから、Hessianの行列式を計算するだけ。Hessianができれば、後は「途中式」も何もない。

この回答へのお礼

優秀な他の方が回答してくれたのでもう大丈夫です^_^

お礼日時：2021/06/21 15:14

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2021/06/21 04:01

> ヘッセ行列を用いて

って書いてあるじゃん。Hessianは2階偏微分。

この回答へのお礼

そのヘッセ行列を使って解く過程を途中式含めて教えてくれませんか？

お礼日時：2021/06/21 04:23