a,bが有理数として√6が無理数を用いて √2a＋√3b＝0⇒a＝b＝0を証明する b≠0と仮定する

a,bが有理数として√6が無理数を用いて
√2a＋√3b＝0⇒a＝b＝0を証明する
b≠0と仮定すると
両辺に√2をかけて2a＋√6b＝0
　　　　　　　　√6b＝−2a
b≠0であるため√6＝−2a/b
これは√6が無理数に矛盾する。
よってb＝0
このとき√2a＋√3・0＝0からa＝0
命題は真である

解説お願いしたいです…
命題や対偶それの証明や背理法についてもポイントなどあったら教えていただきたいです。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/27 16:57

＞ どうしてb≠0と仮定するのか分かりません。

他の仮定でもいいのでしょうか？

b≠0と仮定しなければいけないわけではありません。
b≠0と仮定したら上手くいったというだけで、他の仮定でもいいのです。
例えば、a≠0なんかでもいいですね。

証明は、定理に対して一本道で決まっているものではなく、
いろいろやってみて、上手くいったら成功だという性質のもの。
「どうしてb≠0と仮定するのか」という方向で考えるのは無意味です。
あえて言えば、b≠0と仮定したら上手くいく件の証明が
たまたま見通せたから、b≠0と仮定した とでも言えるかな。

この回答へのお礼

回答してくださってありがとうございました！わかりやすかったです。

お礼日時：2021/06/29 08:05

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/06/27 16:58

a=b=0

を証明するのだから

a=b=0
が成り立たない
b≠0
と仮定するのです
そこから矛盾を導くことによって
a=b=0
が成り立たないという仮定が誤り、
つまり
a=b=0
が成り立つと結論付けることを
背理法といいます

この回答へのお礼

背理法についてしっかり理解できました。ありがとうございます！！

お礼日時：2021/06/29 08:05

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/27 16:50

あ、背理法の説明が欲しいのか...

日頃我々が使っている証明系は、
排中律が成り立つ... 任意の命題 P について
P ∧ ¬P は偽であるものと仮定されています。
(この部分がそれでいいのか？ について語りだすと、
数学基礎論の闇が待っています。華麗にスルーして
排中律は成り立つものとしておきましょう。)

すると、ド・モルガンの定理によって
¬(P ∧ ¬P) = ¬P ∨ ¬¬P が真なので、
P = P ∨ 真
　= P ∨ (¬P ∨ ¬¬P)
　= (P ∨ ¬P) ∨ ¬¬P
　= 真 ∨ ¬¬P
　= ¬¬P
となります。

示したい定理 P について　(¬P)⇒偽　が示せたとすれば、
「⇒」の定義から
真 = (¬P)⇒偽
　= (¬¬P)∨偽
　= P∨偽
　= P
となり、P が真であることが判ります。

この回答へのお礼

本当にありがとうございました！！！

お礼日時：2021/06/29 08:06

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/27 16:23

解説も何も、質問文中の証明のとおりですよ。

証明以上の説明がありますか？

この回答へのお礼

説明の理解ができません。まずどうしてb≠0と仮定するのか分かりません。他の仮定でもいいのでしょうか？

お礼日時：2021/06/27 16:24