広義積分の収束判定についての質問

0<ε<1, x>0とします. このとき, 次の広義積分

\int_{0}^{∞}(1+ε)^{-t}t^{x-1}dt
\int_{0}^{∞}e^{-t}t^{x-1}dt

が収束することを示したいのですが, どのようにして示せばいいでしょうか. 優関数で被積分関数を抑えることも考えたのですがうまく見つけることができませんでした.

よろしくお願いいたします.

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/07/07 02:54

1.

　I=∫[0→∞] e^(-t) t^(x-1) dt
　I₁=∫[0→1] e^(-t) t^(x-1) dt
　I₂=∫[1→∞] e^(-t) t^(x-1) dt
とすると
　I=I₁+I₂
となり、I₁, I₂の存在または収束を示せばよい。

(1) I₁の収束
x≧1のとき、t^(x-1) は [0,1] で連続、すると、e^(-t) t^(x-1)も
連続となり、I₁は存在する。

0<x<1のとき、t=0で t^(x-1)は有界でない。しかし、(0,1)で
e^(-t)<1 だから
　e^(-t) t^(x-1)<t^(x-1)
となり、
　I₁=∫[0→1] e^(-t) t^(x-1) dt
　　<∫[0→1] t^(x-1) dt=[t^x/x][1,0]=1/x<∞
とにり、I₁は収束する。つまり、x>0 で 広義積分I₁は存在する。

(2) I₂の収束
x<1 のとき、t≧1 だから、t^(x-1)≦1 となり
　I₂=∫[1→∞] e^(-t) t^(x-1) dt
　　≦∫[1→∞] e^(-t) dt=[-e^(-t)][∞,1]=1/e<∞
となり、収束する。

x≧1 のとき、マクローリン展開から x-1<n-2 が存在して、e^t>t^n/n!
となる。すると
　e^(-t) t^(x-1)=t^(x-1)/e^t < n!t^(x-1-n)<n!/t²
すると
　I₂=∫[1→∞] e^(-t) t^(x-1) dt
　　<∫[1→∞] n!/t² dt=n![-1/t][∞,1]=n!<∞
となり、I₂は収束する。

したがって、x>0 でI₂は収束する。

(3) Iの収束
上の(1)(2)から Iは収束する。


２．
　I=∫[0→∞] a^(-t) t^(x-1) dt (a>1)
の収束の証明。

　I=∫[0→∞] e^(-(loga)t) t^(x-1) dt
a>1 から、loga>0 である。ここで、u=(loga)t と変換すると
　I=∫[0→∞] e^(-u) (u/loga)^(x-1) du/(loga)
　　={(1/loga)^x}∫[0→∞] e^(-u) u^(x-1) du
となる。これは上の１項の積分となり収束する。

すると、a=1+ε　と置けば、もう一方の式は証明された（つまり、
εは正であればよかった）。


３．
なお、#1は
　∫[0,T] (1+ε)^(-t) t^(x-1) dt
において、x<1において、t=0の非有界性の検討をしていない。
また、0 < ε < 1 としているのに
　ε = e - 1
というのは論理が破綻している。ただ、議論は ε>0 で成り立って
いるようなので、問題ないのだが（断りが無い）。残念!

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/07 00:16

∫[0,∞] (1+ε)^(-t) t^(x-1) dt

lim[t→∞] (log t)/t = +0 なので、
十分大きい t をとれば (log t)/t < (log(1+ε))/(x+1)
となるようにすることができる。 t > T でそうなるとして、
その範囲の t で t^(x+1) < (1+ε)^t となることより
∫[0,∞] (1+ε)^(-t) t^(x-1) dt
= ∫[0,T] (1+ε)^(-t) t^(x-1) dt + ∫[T,∞] (1+ε)^(-t) t^(x-1) dt
< ∫[0,T] (1+ε)^(-t) t^(x-1) dt + ∫[T,∞] t^-2 dt.
この右辺の左項は有界な関数を有限区間で積分したものであり、
右項は = [　-1/t　]_(T,∞) = 1/T と収束する。
よって、有積分収束定理より与式は収束。

∫[0,∞] e^(-t) t^(x-1) dt

上記の積分で、 ε = e - 1 の場合にあたる。
0 < ε < 1 の範囲で収束を証明済み。