｢有界閉集合Dで連続な関数は、Dで最大値及び最小値をとる｣の証明を教えて頂けると幸いです。

｢有界閉集合Dで連続な関数は、Dで最大値及び最小値をとる｣の証明を教えて頂けると幸いです。

質問者からの補足コメント

• 実際の問題貼っておきます。

  
    補足日時：2021/07/11 14:13

No.7 ベストアンサー 回答者： rinkun 回答日時： 2021/07/12 20:54

Dが閉集合でない例ですね。

D⊆Rな例で良ければ、D=(0,1]として
f(x)=1/x x∈D
とします。
この関数fはDで連続ですが、最大値はありません。xが0に近づけばf(x)はいくらでも大きくなりますから。
DがR^2の部分集合になるような拡張は自力で考えて下さい。
難しく考える必要はないです。

No.6 回答者： rinkun 回答日時： 2021/07/12 07:41

解析学ならRか、場合によりR^nでしょうね。

資料を遡ればどこかで議論する対象を記載しているでしょう。どこにも書いていなければ教授のぽかミスです。
それで問題の書き方からすると質問者さんはコンパクトの概念もまだ知らないかもしれませんね。何にせよコンパクトを明に示した回答は強すぎる道具を使っている気がするので、下記URLのように背理法でf(D)の有界を示して上限・下限から最大値・最小値の存在を示す流れが良いでしょう。
https://note.com/ivos10iwa/n/ne85f94713aa5

この回答へのお礼

1講義前の授業資料において
｢ユークリッド平面R^2上の部分集合Dで定義された写像f:D→Rを、Dを定義域とする(2変数)関数といい、f(x,y)または点P=(x,y)の関数としてf(P)と表す｣
とありました。

自分の専攻外の授業かつ、カリキュラム上微積の授業より前に解析学を取らざるを得ないため、知識が浅くて申し訳ないです。
助かります。

良ければ補足の画像上の(b)も教えて頂きたいです。

お礼日時：2021/07/12 11:44

No.5 回答者： rinkun 回答日時： 2021/07/11 19:31

補足から……

画像の文面にはDが『ユークリッド空間』の部分集合かどうか明示されていませんけど、定理として扱っているから大前提としてユークリッド空間での議論なのでしょうね。もっと具体的にRとかCの部分集合かもしれませんけど。
出典は解析学とか複素関数論の教科書ですか?

この回答へのお礼

出典は恐らく解析学の教科書だと思います。ただ、資料は教授が全て作成しているので、詳しいところは分かりません。

お礼日時：2021/07/11 19:33

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/07/11 15:57

#1です。

訂正します

ユークリッド空間R^n
の
有界閉集合Dはコンパクト
コンパクトDからRへの連続関数fの像
f(D)もコンパクト
コンパクトf(D)はRの有界閉集合
f(D)はRの有界な部分集合だから
f(D)の上限および下限が存在する
一方f(D)はRの閉集合だから
f(D)の上限および下限はともに
f(D)に属さなければならない
したがって
max{f(D)}
および
min{f(D)}
が存在する

No.3 回答者： rinkun 回答日時： 2021/07/11 10:13

反例でそう。

無限次元ヒルベルト空間l2={ (x1,x2,...) | xn∈R } で
f(x=(x1,x2,...))=Σn^(-2)|xn|^2
とすると連続関数になる。
有界閉集合Dを単位円殻D={ x∈l2 | |x|=1 }ととると、
yn=(0,...,0,1,0,...) n番目の要素のみ1で他は0というl2の元
に対して、f(yn)=n^(-2)
ということから
f(D)=(0,1]
となることが分かる。(要証明)
なのでfは下限0を取る要素がないので最小値がない。
# ynとy(n+1)をD上でつなぐ曲線を考えるとf({yn})の間をつないで
# f(D)=(0,1] を示せるだろう

No.2 回答者： rinkun 回答日時： 2021/07/11 09:23

問題に『ユークリッド空間の』有界閉集合Dとか追加の仮定はない?

仮定がなければ
> 有界閉集合Dはコンパクト
が不成立なのでNo.1の回答は誤り。無限次元だと有界閉集合でもコンパクトでない例がある。無限次元ヒルベルト空間の単位円球とかね。

｢有界閉集合Dで連続な関数は、Dで最大値及び最小値をとる｣に反例が出るかどうかは知らない。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/07/11 06:00

有界閉集合Dはコンパクト

コンパクトDからRへの連続関数fの像
f(D)もコンパクト
コンパクトf(D)はRの有界閉集合
f(D)はRの有界な部分集合だから
f(D)の上限および下限が存在する
一方f(D)はRの閉集合だから
f(D)の上限および下限はともに
f(D)に属さなければならない
したがって
max{f(D)}
および
min{f(D)}
が存在する