実数xに対して[x]はxを超えない最大の整数を表すものとし、[logN(底は2）]=nを満たす自然数

実数xに対して[x]はxを超えない最大の整数を表すものとし、[logN(底は2）]=nを満たす自然数Ｎの個数をanとする。
anを求めよ
ガウス記号の定義より
n≦logN<2^(n+1)より
2^n≦N<2^(n+1)となると思うのですが
その後にan=｛2^(n+1)－1｝－｛2^n－1｝
になる理由がわかりません。

No.1 回答者： diff3356 回答日時： 2018/01/16 08:28

底=2 は略してかきます。

[x]≦x<[x]+1, より、
[log(N)]≦log(N)<[log(N)]+1.
ですから、
n≦log(N)<n+1 ⇔ 2^n≦N<2^(n+1).
これから、
a[n]={2^(n+1)-1} - {2^n - 1}
=2^(n+1) - 2^n
=2^n.
となります。

No.2 回答者： rinkun 回答日時： 2018/01/16 08:31

2^n≦N<2^(n+1) を満たすNの数を数えます。

最大のNは N=2^(n+1)-1 です。最小のNは 2^n です。
その間の自然数Nの数は、『最大ー最小＋１』、書き換えて『最大ー（最小ー１）』です。