A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
f(x)=(6-x)/5 , g(x)=2x/(x^2+1)
とすると
f(x)=g(x) → x³-6x²+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)
したがって、
f-g は x=1~2で負、2~3で正となるから、
S=-∫[1→2] (f-g) dx + ∫[2→3] (f-g) dx
が求める面積となる。
∫(f-g)dx=∫{ (6-x)/5 -2x/(x²+1) }dx
=(6x-x²/2)/5-log|x²+1|
=(6/5)x-x²/10-log(x²+1)
だから
S=-[(6/5)x-x²/10-log(x²+1)][2,1]+[(6/5)x-x²/10-log(x²+1)] [3,2]
=-{12/5-2/5-log5}+{6/5-1/10-log2}
+{18/5-9/10-log10}-{12/5-2/5-lo5}
=-2{2-log5}+{(11/10)-log2} + {27/10-log10}
=-4+2log5+11/10-log2 + 27/10- log10
=-4+38/10+2log5-log2 - (log2+log5)
=-1/5+log5-2log2
=-1/5+log(5/4)
No.1
- 回答日時:
直線:x+5y=6
曲線:y=2x/(1+x^2)
で囲まれた部分の面積をSとする
直線と曲線の交点を(x,y)とすると
5y=6-x
2x/(1+x^2)=y=(6-x)/5
2x/(1+x^2)=(6-x)/5
10x=(1+x^2)(6-x)
10x=6-x+6x^2-x^3
x^3-6x^2+11x-6=0
(x-1)(x-2)(x-3)=0
x=1の時y=1
x=2の時y=4/5
x=3の時y=3/5
1<x<2の時2x/(1+x^2)>(6-x)/5
2<x<3の時2x/(1+x^2)<(6-x)/5
F(x)=∫{2x/(1+x^2)}dx
とすると
F(x)=log(1+x^2)
G(x)=∫{(6-x)/5}dx
とすると
G(x)=x(12-x)/10
F(1)=log(2)
F(2)=log(5)
F(3)=log(10)
G(1)=11/10
G(2)=2
G(3)=27/10
S
=∫_{1~2}{2x/(1+x^2)-(6-x)/5}dx+∫_{2~3}{(6-x)/5-2x/(1+x^2)}dx
=∫_{1~2}{2x/(1+x^2)}dx-∫_{1~2}{(6-x)/5}dx+∫_{2~3}{(6-x)/5}dx-∫_{2~3}{2x/(1+x^2)}dx
=∫_{1~2}{2x/(1+x^2)}dx-∫_{2~3}{2x/(1+x^2)}dx-∫_{1~2}{(6-x)/5}dx+∫_{2~3}{(6-x)/5}dx
=F(2)-F(1)-F(3)+F(2)-G(2)+G(1)+G(3)-G(2)
=2F(2)-F(1)-F(3)+G(1)+G(3)-2G(2)
=2log(5)-log(2)-log(10)+11/10+27/10-4
=2log(5)-log(2)-log(2)-log(5)+38/10-4
=log(5)-2log(2)+19/5-4
=log(5)-log(4)-(1/5)
=
{log(5/4)}-(1/5)
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