［至急］ 大学の統計学の問題なのですが，よろしければ模範解答を教えていただきたいです。確率分布の中で

［至急］
大学の統計学の問題なのですが，よろしければ模範解答を教えていただきたいです。確率分布の中でも最重要な，統計の基本となる「二項分布」や「正規分布」についての問題です。どうかよろしくお願いいたします。

問題

サイコロを30回投げたとき5の目が出る回数をXとする.このとき，4≦X≦6の確率を，次の2通りで求めよ.

⑴ 二項分布(10.1)を利用して，P(4≦X≦6)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)を求める.

⑵二項分布の正規分布の半整数補正による近似(10.3)'を用いてP(4≦X≦6)を求める.

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/11/30 18:44

あれ？　回答したのに、「宿題丸投げ」と判断されて削除された？

基本だと自分でも分かっているのなら、何度も同じ投稿をするのでなく、ちゃんと勉強しましょう。

(1) (10.1) の式は、おそらく「n 回試行して、確率 p の事象が r 回起こる確率」が
　P(n, r) = nCr × p^r × (1 - p)^)n - r)
というものではありませんか？

式が与えられているのだから、あとは n=30, p=1/6 として、r=4, 5, 6 について計算して求めるだけです。
もちろん「関数電卓」が必須です。（携帯アプリにも、パソコンにもありますけどね）

r=4 のとき
　P(30, 4) = 30C4 × (1/6)^4 × (5/6)^26 = 0.184719･･･ ≒ 0.1847
r=5 のとき
　P(30, 5) = 30C5 × (1/6)^5 × (5/6)^25 = 0.192108･･･ ≒ 0.1921
r=6 のとき
　P(30, 6) = 30C6 × (1/6)^6 × (5/6)^24 = 0.160090･･･ ≒ 0.1601
よって
　P(4≦X≦6) ≒ 0.5369

(2) (10.3)' がどんな式かは分かりしませんが、二項分布は試行回数が多くなれば正規分布に近づきます。
そのとき、正規分布の特性は
・平均：μ = np = 30 × (1/6) = 5
・分散：V = np(1 - p) = 30 × (1/6) × (5/6) = 150/36
・標準偏差：σ = √V = (√150)/6 = 2.04124･･･ ≒ 2.04
となります。

正規分布は「連続分布」なので、「離散分布」を適用する場合には
　X=4 → 3.5≦X≦4.5
　X=5 → 4.5≦X≦5.5
　X=6 → 5.5≦X≦6.5
のように「連続変数」に置き換えます。これが「半整数補正」。

また、正規分布の確率を求めるときには、一度「標準正規分布」（平均が 0, 標準偏差が 1 の正規分布）に変換して「標準正規分布表」を使うのが普通のやり方です。
この場合の「標準正規分布」への変換式は
　Z = (X - μ)/σ = (X - 5)/2.04
となります。

P(3.5≦X≦6.5) を求めたいので、端点の標準正規分布の変数を求めれば
X=3.5 のとき
　Z = (3.5 - 5)/2.04 = -0.73529･･･ ≒ -0.735
X=6.5 のとき
　Z = (6.5 - 5)/2.04 = 0.73529･･･ ≒ 0.735
なので
　P(3.5≦X≦6.5) = P(-0.735≦Z≦0.735) = 2 × P(0≦Z≦0.735)
（正規分布の対称性による）

下記の標準正規分布表から
　P(0≦Z≦0.735) ≒ 0.27
(Z=0.73 か 0.74 の値しか読み取れません）
よって
　P(3.5≦X≦6.5) ≒ 2 × 0.27 = 0.54

(1) とはそこそこ一致します。

↓　標準正規分布表
https://www.koka.ac.jp/morigiwa/sjs/standard_nor …

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/12/01 23:19

No.1 です。

(2) について、エクセルの統計関数の
　NORM.S.DIST(0.735,TRUE) - 0.5
で計算すると（この関数は「累積確率」を求めるものなので - 0.5 している）
　P(0≦Z≦0.735) ≒ 0.26883
なので、これを使うと
　P(4≦X≦6) ≒ 0.5377
になります。

ご参考まで。