
No.5
- 回答日時:
1/Xの分布関数は∫(-∞<(1/t)<x)・p(t)・dtと表せるのでしょうか?:
そうです
確率変数Y=1/Xの分布関数F(x)は確率変数Y=1/Xがx以下である確率を意味します
そして分布関数はF’(x)です
1/xの期待値は∫(-∞<x<∞)・q(x)・1/x・dxではないのでしょうか?:
違います
私も不注意でミスをしましたがこれははまりやすい落とし穴です
q(y)は確率変数Y=1/Xの密度関数です
だから1/Yの平均を取るとXの期待値になってしまいます
すなわち
∫(-∞<x<∞)・q(x)・1/x・dx=
∫(-∞<x<∞)・p(x)・x・dx
です
納得できなければ痴漢積分で直接確かめる事ができます
なおp(x)が正規分布の密度関数のときに積分は発散しますがp(x)如何では求まるでしょう
N(0,1)のときに
q(x)=p(1/x)/x^2
をみれば分かるように1/Xの分布を見てみるとお尻のようになっていますね
No.3
- 回答日時:
明らかに存在しません。
x~0の近辺で積分がどうなるか考えてみましょう。
この回答への補足
説明が不十分でした。X>0で、知りたいのはλからmまでの区間積分による期待値です。クローズドフォームで表わすことは難しいでしょうか?
補足日時:2004/07/13 20:24No.2
- 回答日時:
すいません
ほとんど考えずに回答したので嘘書いていました
正規分布の密度関数をp(x)とすれば
∫(-∞<(1/t)<x)・p(t)・dt
をxで微分すれば1/xの密度関数がでる
それをq(x)とすると1/xの期待値は
∫(-∞<x<∞)・q(x)・x・dx
となる
すなわちq(x)は既に逆数の密度なので通常の平均をとる計算と同じになります
上の計算をすると
q(x)=p(1/x)/x^2
となり
期待値は
∫(-∞<x<∞)・p(x)/x・dx
となります
逆数も多項式と同じように期待値を計算できるというもっともらしい結果を導く事ができます
この回答への補足
さっそく回答ありがとうございます。勉強不足で十分理解できない所があり恐縮なのですが、Xが正規分布に従うとき、1/Xの分布関数は∫(-∞<(1/t)<x)・p(t)・dtと表せるのでしょうか?また1/xの期待値は∫(-∞<x<∞)・q(x)・1/x・dxではないのでしょうか?宜しくご教授下さい。
補足日時:2004/07/13 20:35No.1
- 回答日時:
正規分布の密度関数をp(x)とすれば
∫(-∞<(1/t)<x)・p(t)・dt
をxで微分すれば1/xの密度関数がでる
それをq(x)とすると1/xの期待値は
∫(-∞<x<∞)q(x)/x・dx
となる
ヘビサイド関数とδ関数の関係を知っていれば形式的に出ますが・・・
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