群数列の問題です。 次のように、正の奇数の数列を、順に1個、2個、3個、...の郡に分ける。 1/3

群数列の問題です。
次のように、正の奇数の数列を、順に1個、2個、3個、...の郡に分ける。
1/3,5/7,9,11/13,15,17,19/....

第n番目(n≧2)の群の最初の数を求めよ。
という問題がございまして、解答には
第n番目の郡はk個の数を含むから第 n 番目の群の最初の数は
{1+2+.....+(n－1)}+1=1/2(n－1)n+1(番目の奇数である。)
よって、2{1/2(n－1)n+1}－1=n^2－n+1 と書いてあるのですが、わからないのは
この解答の途中式で、2{1/2(n－1)n+1}－1の左端の2は分数の分母を払うために{1/2(n－1)n+1}にかけるのはわかるのですが、
{1/2(n－1)n+1}－1の、一番右端の－1はどこから出てきたのかわかりません。
教えていただけますでしょうか。

質問者からの補足コメント

• 失礼致しました。
  与えられた式が奇数だから2n－1でnに
  1/2(n－1)n+1を代入して
  2{1/2(n－1)n+1}－1=n^2－n+1となっているようですね。
  群数列で大苦戦しており、なぜこのような流れで求められるのかさっぱりです。

    補足日時：2022/01/15 19:55

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/01/15 21:08

群　は、すなわちグループですから、まずはグループ単位で処理するところから始めるのが通常の流れだと思いますよ

今回は　第一グループには1個のき数(1)が所属
2グループには　2個の数(3,5)が所属
・・・　
nグループにはｎこの奇数が所属という比較的シンプルな規則があります

このことから、1グループからｎグループまでに所属している奇数の全個数がすぐにわかります→1+2+3+・・・+n個　というように
で、模範解答はこのことを利用して　1～n-1グループまでに所属している全機数の個数を割り出しています
1～n-1グループまでに所属している全所属個数
=1+2+3+・・・+(n-1)
等差数列の和の公式などにより
=1/2(n－1)n 個
故に　n-1グループのすぐ右隣にある数（nグループの左端の奇数)は
グループというくくりをなくせば　
1/2(n－1)n＋１個目という事です
ここまでは、グループに所属する物の個数が対象になっていて
「所属物」が奇数であろうが、偶数であろうが、分数であろうが
無関係ですよ！！

で、ここからは所属物が奇数であることを意識しますよ
グループは考えないで
1ばん目の奇数は１
もし偶数の数列なら1番目の偶数は２(=2x1)
2番目の奇数は3
2番目の奇数は(2x2)
・・・
どうやら、規則性はn番目の偶数は2n
それと一対であるn番目の奇数は１つマイナスしてあげて2n-1ですよね
ゆえに、
（nグループの左端の偶数)=
　=1/2(n－1)n＋１個目の偶数
=2・{1/2(n－1)n＋１}ですから
対になっている奇数は、やはり1つマイナスしてあげて
2・{1/2(n－1)n＋１}ー１
=n^2－n+1
ということなんです

この回答へのお礼

非常に丁寧で参考になりました。

お礼日時：2022/01/16 14:56

No.3 回答者： yukkurine 回答日時： 2022/01/15 21:55

一般的にm番目の奇数は2m-1で表せます。

m=(1/2)n(n-1)+1を代入して答えを求めています。分母の2を払っているわけではありません。

この回答へのお礼

勉強になりました。

お礼日時：2022/01/16 14:56

No.1 回答者： akari31 回答日時： 2022/01/15 20:25

先頭の数を書き出すと、

a1=1,a2=3,a3=7,a4=13,a5=21より、
a2-a1=2*1
a3-a2=2*2
a4-a3=2*3
a5-a4=2*4
・
・
・
an-a(n-1)=2*(n-1)これを上から下まで足すと
an-a1=2Σ{K=1→(ｎ-1)}K=n(n-1)よって、
an=n(n-1)+a1=n(n-1)+1

この回答へのお礼

参考になりました。

お礼日時：2022/01/16 14:46