エルミート行列の固有値について

エルミート行列の固有値が全て実数であることを、証明する際に、標準エルミート内積を利用して証明することは可能ですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： yukkurine 回答日時： 2022/01/31 10:04

Aをエルミート行列とする。

Ａの任意の固有値をλ、対応する固有ベクトルをｘとする。

(Ax, x)
=t(Ax)x~ （t：転置、～:複素共役）
=txtAx~
=txA~x~ （Ａはエルミート行列だから、tＡ=A~）
=tx(Ax)~
=(x, Ax)

ゆえに
(Ax, x)=(x, Ax)
が成り立つ
左辺=(λx , x)=λ|x|^2
右辺=(x , λx)=λ~|x|^2
よって
(λ-λ~)|x|^2=0
x≠0より
λ=λ~
したがってλは実数

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/02/01 11:11

教科書通りですが、

標準エルミート内積 は複素数に拡張された内積で
a・b = Σai(bi~)=(a^T)(b~) (^Tは転置、～は複素共役とします。)

内積の基本的な性質である
a・a = |a|^2 ≧ 0
がなりたちます。

^* を随伴行列(転置の複素共役)とすると

Ax・y = ((Ax)^T)(y~)=(x^T)(A^T)(y~)
=(x^T)(((A^*)y)~)=x・(A^*)y

と変形できます。

エルミート行列の定義 は H = H^* ですから
Hx・y = x・Hy
x＝yの場合でかつHの固有ベクトルとし、
xに対応する固有値をλとすると
Hx・x = x・Hx
λx・x = x・λx　→ λ(x・x) = (λ~)(x・x)

固有ベクトルは定義から零ベクトルではないので
(x・x)≠0
なので、両辺を x・x で割ると
λ = λ~