正十二面体と正二十面体の対称性

1辺の長さが1の正二十面体の各面の重心を結んでできあがる正十二面体の体積と、1辺の長さが1の正十二面体の各面の重心を結んでできあがる正二十面体の体積をそれぞれ求めよ

この問題の解き方を教えてください

No.1 回答者： yos1912 回答日時： 2022/02/20 09:47

こうやれば求められるのではという１つの方法を回答します(できるかは確認していません)。

　問題文からは立体の内接球を外接球とする立体の体積を求めよというように読み取れます。従って、各立体の外接球の半径(各頂点から球の中心まで)と内接球の半径(各面の中心から球の中心まで)を求めることが必要です。その求め方です。

　まず、正２０面体を考えます。頂点の１つを極(地球で例えています)に置いてみます。反対側の頂点がもう一つの極になります。赤道にあたるところを見ると、正三角形１０コが向きを変えながら一周していることがわかります。従って赤道での断面をとれば正１０角形になります。この図形の頂点は各面の正三角形の中点になり、１０角形１辺の長さは正三角形の１辺の長さの半分です。

　別に、正１２面体を考えます。こちらの方は面の中心を極になるように置いてみます。赤道では５角形面１０コが食い違うようにして並んでいます。ここでの断面も正１０角形になっています。１０角形１辺の長さは正５角形対角線の長さの半分です。

　次に、正１０角形について考えてみます。各頂点から中心に向かって線を引き、これによって区分される二等辺三角形をに注目します。頂角は３６度になります。１つの底角を二等分する線を引き三角形を２つにわけます。新しい三角形も二等辺三角形です。また底辺を含む三角形は元の三角形と相似形ですから、この関係を利用して底辺と斜辺の長さの関係式を作ることができます。

　正１０角形の１辺の長さと頂点までの長さ(外接球の半径)とがわかったので、元の立体１辺の長さと外接球の半径との関係に書き換えます。内接球の半径は、各面の中心から頂点までの長さと外接球の半径から三平方の定理を使っ求めることができます。
　各面の面積と内接球の半径、面の数から立体の体積を求めることができます。
補足：正五角形対角線の長さについては、正１０角形で求めた関係を応用できます。