分散の定義について

確率論を勉強しております。
初歩的な質問で恐縮ですが、分散の定義について分からなくなってしまったため、こちらで質問させていただきたく存じます。

離散分布を考えたとき、確率変数Xの従う確率分布をf(x)、Ｘの期待値をμとすると、Ｘの分散V(X)は
V(X) = Σ(x-μ)^2*f(x) … ①
V(X) = (1/n)*Σ(x-μ)^2 … ②
の2通りの定義があるかと思うのですが、上記2つは同じものでしょうか。

①については計算式に確率分布f(x)が含まれていることから、確率分布が決まらない限り分散が決まらないのに対し、②については確率分布に関係なく値が決まる点から、①と②が同じものを表しているという説明がどうしても理解できません。
実際、具体的な分散を求める計算問題等では②を使って求めることが多い一方で、各種の証明（変数変換やモーメント母関数等）の際には分散の一般系として①を利用することが多く、ますますこんがらがっております。

有識者の方、ご指導のほど、どうぞ宜しくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• 

  皆様ご回答ありがとうございます。
  質問の仕方が悪く、うまく言いたいことを伝えられていないような気がしますので、例を交えて書かせていただきます。
  問題)さいころ(目の出やすさは同様に確か)を3回振ったところ、1,2,6が出た。この時、分散を求めよ。
  ①Σ(x-μ)^2*f(x) = 1/6 * (1-3.5)^2 + 1/6 * (2-3.5)^2 + … + 1/6 * (6-3.5)^2 = 2.91
  ②(1/n)*Σ(x-μ)^2 = ((1-3)^2 + (2-3)^2 + (6-3)^2)/3 = 4.66
  どちらも分散ですが、どちらで計算するかによって結果が異なります。
  腑に落ちないのが、計算結果が異なるのにともに分散という名前で呼び、同一の概念として扱っている点が理解できずにいます。同じ「ような」計算をしているのは確かなのですが、厳密に同じ計算ではなく、結果として（続く）

    補足日時：2022/03/14 21:43

• 

  違う値を導いています。
  統計の参考書を読んでいると、各種の証明や計算問題に①を使う場合と②を使う場合があり、なぜこの場合には①ではなく②を使うのか、（或いは反対に、なぜこの場合には②ではなく①を使うのか）といったことが判断できずに、証明自体が理解できないことがあります。
  なお、蛇足となりますが、上記の例において、
  ③Σ(x-μ)*f(x) = 3.5
  ④(1/n)*Σ(x-μ) = 3
  はそれぞれ、③を期待値、④を平均として別物だと区別して理解しております。
  どうぞ宜しくお願い致します。

    補足日時：2022/03/14 21:49

• ③④式間違えました。
  ③Σx*f(x) = 3.5
  ④(1/n)*Σx = 3
  でした。
  すみません。

    補足日時：2022/03/14 22:02

• 

  より具体的に、どの証明のどの部分が理解できないのかをお示しさせていただきます。
  https://bellcurve.jp/statistics/course/14987.html
  こちらのページの
  
  ここで、期待値の性質からE(1/nΣ(X - μ)^2)の部分は次のように変形ができます。
  E(1/nΣ(X - μ)^2) = (1/n)*Σ(x-μ)^2 = σ^2
  
  この部分では、②を使って、与式が母分散σ^2となることを導出しておりますが、なぜ①ではなくて②を使うのか、どうしても理解できません。
  
  どうぞよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/03/14 23:30

No.9 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/03/15 02:06

「あなたが誤解している」のではなく「書いてあることが不適切であなたを誤解させてしまっている」ように見える.... さておき, 「分散」を求めるときに使っている「平均」が「母集団の平均」なのか「標本集団の平均」なのかに注意が必要だと思う.

「不偏性」のところでは「『標本平均』 (xバー) に対する標本の分散」からスタートして, 「『母平均』 (μ) に対する標本の分散」と「標本平均の (μ に対する) 『分散』 (←いい表現がうかばなかった)」を使う式に変形してる. で, (B)式最右辺第1項の期待値は
E((1/n) Σ (x_i-μ)^2) = (1/n) Σ E((x_i-μ)^2)
になるんだけど, この右辺の各期待値は (母平均 μ との偏差を使っているので) 定義から母分散 σ^2 になる. なので, ここから続けると
... = (1/n) Σ E((x_i-μ)^2) = (1/n) Σ σ^2 = (1/n) nσ^2 = σ^2
ってなる. ということで, 「なぜ①ではなくて②を使うのか」という点については「実はどちらも使っていない」ということになる.

あと念のため.

標本から「分散」を計算するときに「何の平均を使うのか」が重要で
・母平均を使えば「ふつう」に分散を計算すると不偏分散になる
・標本平均を使うと「ふつう」に計算した分散は不偏分散にならない
ってこと. 母平均が既知の場合にはどちらの計算もできるけど, どちらの平均を使うかによって結果が不偏推定量になるかならないかが決まる.

この回答へのお礼

あっっ！！
なるほど！！！
確かに、よく見たら、当該式のカッコの中の(x-μ)のμが、仰る通りに標本平均ではなく母平均になっています！完全にここを見落としておりました！

ようやくすべて理解できました！
ここまでお付き合いいただきまして、誠にありがとうございました！

お礼日時：2022/03/15 02:17

No.8 回答者： yhr2 回答日時： 2022/03/15 00:40

No.7 です。

失礼、この場合には「n」に意味があるので、無限大にしてはいけませんね。

お示しのサイトの式は、一般的な「母平均、母分散が分かっている母集団から n 個の標本を採ってきたときの分散の期待値」そのものですね。
ですから、これは「母集団の分散」に等しくなります。

真ん中の「(1/n)*Σ(xi - μ)^2」は不必要で、もし書くとすれば

　E[(1/n)Σ(xi - μ)^2] = (1/n)Σ(Xi - μ)^2

となるのではないでしょうか。

この回答へのお礼

何度も質問にご回答いただきましてありがとうございます。
おかげさまで、(1/n)*Σ(xi - μ)^2が不要という点は理解できました。
もう少しで証明が理解できそうなのですが、最後の疑問として、ご指摘いただいた「母平均、母分散が分かっている母集団から n 個の標本を採ってきたときの分散の期待値」が「母集団の分散」と等しくなるという点について、もう少しだけ教えて下さい。
私の理解では、「母平均、母分散が分かっている母集団から n 個の標本を採ってきたときの分散の期待値」は母分散と一致しないから、不偏分散という概念が登場したと思っていたのですが、何か大きな勘違いをしておりますでしょうか。
ご指摘のほど、よろしくお願いいたします。

お礼日時：2022/03/15 01:25

No.7 回答者： yhr2 回答日時： 2022/03/15 00:21

No.5 です。

「期待値」の意味を取り違えているようですね。

サイコロを1回だけ振ったときに出る目の期待値は「3.5」ですが、実際に出る目は「１～６のいずれか」です。

期待値は、仮想的に n → ∞ としたときの値です。

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/03/15 00:19

「期待値」を付け忘れたんじゃないかな.

E((1/n) Σ (x_i-μ)^2) = (1/n) Σ E((x_i-μ)^2)

この回答へのお礼

いつも簡潔に本質をご指摘いただきありがとうございます。
私の誤解の根本原因は、ご指摘のとおり、「期待値」の存在を忘れていたことでした。
つまり、与式の左辺は、分散そのものではなく、標本分散の「期待値」だったということでした。
しかし、そうしますと次なる疑問は、同じ式について、左辺の「標本から計算した分散の期待値」が、なぜ右辺の母分散になるのかという点です。むしろ、それが一致しないから、不偏分散なる概念を導入し、まさにそれを証明しようとしているのがリンク先のページだという理解でした。
なにか大きな勘違いをしておりますでしょうか。
何卒宜しくお願い致します。

お礼日時：2022/03/15 01:34

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2022/03/14 23:08

No.3 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞「既知の母集団から採ってきたn個の標本」です。
＞この場合の分散はどちらになりますか？

「母集団の分散」と「標本の分散」になります。
標本の数が少なければ、ふつうは違う値になるでしょう。

この回答へのお礼

重ね重ねご回答ありがとうございます。
①が母集団の分散（母分散）、②が標本分散ということでしょうか。
私も当初はそのように理解しておりましたが、そう考えるとどうしても理解できない証明があります。
また補足に書き込みを致しましたので、お手数ですが、お手すきの時間にご覧いただけますでしょうか。

お礼日時：2022/03/14 23:30

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/03/14 22:11

私、降ります。

すみません。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2022/03/14 22:52

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2022/03/14 09:48

確率分布の分かっている母集団の分散は①で（その場合には②式でいうところの「n」は存在しない）、

ｎ個の標本の分散は②で求める
ということかと思います。

「既知の母集団」とか「未知の母集団から採ってきたn個の標本」とかを考えれば、どちらの式を使うかは決まりますよね？

母集団が未知であれば「確率変数Xの従う確率分布をf(x)」も未知で①は使えませんが、その場合にも「n 個の標本」があればその分散は求められます。
ただし、それはあくまで「n 個の標本の分散」であって、それから母集団の分散をどのように推定するかは別な話になります。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
「既知の母集団」とか「未知の母集団から採ってきたn個の標本」とかを考えれば、どちらの式を使うかは決まりますよね？
とコメントしていただきましたが、これにつきまして、もしお時間がおありでしたら補足の例をご覧いただけますでしょうか。
「既知の母集団から採ってきたn個の標本」です。
この場合の分散はどちらになりますか？
宜しくお願い致します。

お礼日時：2022/03/14 21:57

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/03/14 07:42

①式ですが、

『離散分布を考えたとき、確率変数Xの従う確率分布をf(x)、Ｘの期待値をμとすると、Ｘの分散V(X)は
V(X) = Σ(x-μ)^2*f(x) … ①』

は

V(X) = Σ(X-μ)^2*f(x)

であり、()^2内のxは大文字Xの間違いですよね。
Xは観測値ではなく横軸の値です。この式は観測値ｘが用いられていません。

このように具体的な観測値が無い場合でも計算したい、というか観測値は特殊ケースに過ぎないから、観測値を用いない蓋然性の高い状態で証明したいときに用いるのが①だと思います。

f(x)が連続関数のときは積分で求め、それを「２次の中心積率」と言いますが、f(x)が離散関数（確率質量関数）なので、積分が出来ずサンメイションに置き換えていますね。
確率は密度関数の面積なんですが、離散値は面積が無いので、ある点の「質量」と考えるのですね。

なお、本来は、f(x)もf(X)のように大文字にすべきですが、ご質問者さんの定義に従いました。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
観測値を用いない蓋然性の高い状態で証明したいときに用いるのが①
とのご指摘をいただきましたが、ということは、②は①の近似ということでしょうか。
①式を式変形して②式を導くことはできますでしょうか。

お礼日時：2022/03/14 21:55

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/03/14 02:38

当然, 上.

「具体的な分散を求める計算問題等では②を使って求めることが『多い』」と書いているってことは, 自分でも「いつでもどこでも②を使っているわけではない」と気付いている... んだよね? だとしたら, そういう場合にはどう計算しているんだろう.

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
はい、いつでもどこでも②を使っているわけではないので、逆に、いつ①を使うべきなのか、いつ②を使うべきなのかが判断できずにおります。
もしお時間がありましたら補足をご覧いただけますと幸いです。
どうぞ宜しくお願い致します。

お礼日時：2022/03/14 21:52