コーシーリーマンの関係式の誘導

以下のような複素関数があり、
W(z)=Φ(x,y) + i Ψ(x,y), z=x+iy
コーシーリーマンの関係式は、
dW(z)/dz=∂W/∂x=∂W/∂(iy)から誘導できる（演繹できる）とのことです(展開は容易かと思います)。
つまりこの式がコーシーリーマンの関係式を誘導する前提とのことです。これはどうして成り立つのでしょうか。
これも仮定されたものだと考えた場合、これが成り立つものに限定した理論展開だとみることもできると思いますが、これが成り立つものとはどんなものでしょうか。解析関数ということになるのでしょうか。解析関数を仮定するとどういう利点があるのかとまた上流に向かって問いが出てくるのですが。
ひとまず、あの式が成り立つとされた考え方を知りたいのですが。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/13 18:47

＞ これは承認できるのでしょうか。

＞ これにもやはりなぜ？が問えるように思えるのですが。

あなたが承認するかしないかは、あなたの個人的な問題なので
私にはなんとも言えません。
dW(z)/dz の定義が lim[u→z] (W(u) - W(z))/(u - z) であり、
lim[u→z] F(u) = a の定義が ∀ε>0,∃δ∈実数,|u-z|<δ⇒|F(u)-a|<ε である限り、
数学上は認めざるを得ない事実なのですが。

＞ これは（微分はガウス平面内の経路に依存しない）とか
＞ (ガウス平面で微分が方向に依存しない)という言い方と同値でしょうか。

そのとおりです。

＞ 実解析の場合、微分が存在するとは右から近づいても、
＞ 左から近づいても同じ値になる、ということが必要条件の１つ
＞ それの複素数版みたいなものでしょうか。

ちょっと違うかも。
どちらかというと、複素数の位相が実数の位相２個の直積位相であること
と関係していると思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。”承認”の部分は主語は私ではなく、回答者さんが、ということです。また、その承認というのは誰でもが理屈がわかれば承認せざるを得ないものであることの承認も含めてです。承認という抽象的な言葉で言わなかったほうがいいかもしれません。アプリオリに認められるもの、というようなことです。私はまだ白紙状態ですが、納得して認めたいと思っているのですが、そのやり方がわからないという疑問がこの質問の趣旨です。ますます抽象的になったかもですが。

実解析での微分を引き合いに出しました。これも問題かもですが、私が考えたかったのは内容というより理論の体系での位置づけのようなものが同じものというようなことです。立ち位置が同じというような類似性ということです。

我ながら頭でっかちって感じがしてきましたが。

お礼日時：2022/06/14 00:16

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/13 13:21

＞ あの式が成り立つとされた考え方

dW(z)/dz=∂W/∂x=∂W/∂(iy) を成分ごとに書いたら
コーシーリーマンの関係式になるってだけのことじゃない？

dW(z)/dz = lim[u→z] (W(u) - W(z))/(u - z) で
この u→z は複素平面上の任意の経路で近づき得るのだから、
これが収束するならば、近づく経路を限定した
∂W/∂x や ∂W/∂(iy) も収束して
dW(z)/dz=∂W/∂x=∂W/∂(iy) になるのはアタリマエの話。

逆に ∂W/∂x=∂W/∂(iy) が成り立つなら dW(z)/dz も収束する
ことが言えればうれしいな...と思うのだが、これが言えるのは
∂W/∂x, ∂W/∂(iy) が z について連続な場合に限られる。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
”u→z は複素平面上の任意の経路で近づき得る”を承認できたらこの疑問は解決します。まさに当たり前の話になります。これは承認できるのでしょうか。これにもやはりなぜ？が問えるように思えるのですが。ところでこれは（微分はガウス平面内の経路に依存しない）とか(ガウス平面で微分が方向に依存しない)という言い方と同値でしょうか。
また、”任意の経路で近づき得る”ということですが、実解析の場合、微分が存在するとは右から近づいても、左から近づいても同じ値になる、ということが必要条件の１つだったと思います(折れ線が折れている部分では微分が存在しない）。それの複素数版みたいなものでしょうか。

お礼日時：2022/06/13 17:17