ε-Ｎ論法について、

ε-Ｎ論法について、
任意のε＞０についてある自然数Ｎが存在して、n,m＞Ｎのとき
｜Ａm－Ａn｜＜ε
を満たすならば、数列｛Ａn｝は収束する(コーシーの収束判定条件)
ということを証明するときに、
Ａnは有界→収束部分列をもつ
という方針で証明するのですけど、

有界性を証明するとき、
ｍ＞Ｎでｍを固定しＡmを定数化して
｜Ａm－Ａn｜＜ε⇔Ａm－ε＜Ａn＜Ａm＋ε
　Ｍ＝max{ |Ａ1|,…,|ＡN|,|Ａm－ε|,|Ａm＋ε| }とおくと　
　｜Ａn｜≦Ｍ
より有界性は示された・・・

って感じで証明したんですけど、実際、ｍを固定してＡmを定数化したとき
Ａm＝α　とでもおいとくとすると

「∀ε＞0、∃Ｎ、 s.t, ∀n>N ⇒｜α－Ａn｜＜ε」

が成り立つから即座にＡnは収束する、ということが言えるのでしょうか？
またそもそもｍを固定することは可能なんでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/05/21 19:54

質問の命題は、∀ε,∃N,∀n,∀m,…

という形をしています。
論理式の中で、隣り合う∀と∀、∃と∃の位置を
入れ替えても、式の意味は変わりませんが、
∀と∃を入れ替えたら、別の命題になってしまいます。

したがって、m = N + 1 のように
m を N に依存して固定する分には、
∀ε,∃N,∀m,(∀n,…) と、∀n と ∀m を交換するだけ
なので構いませんが、

質問文のように
m を ε に依らない定数と考えるのは、
命題を ∀m,(∀ε,∃N,∀n,…) と変形
したことになるから、マズイのです。

∃N と ∀m の前後関係は、変えられません。
その理由は、∃x,P(x) ⇔ not ∀x,not P(x)
であることを使って、論理式を展開・整理
してみれば解ります。

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2010/05/20 23:48

m は、固定できません。

m＞N でなくてはいけませんが、N は ε に依存しているので、
∀ε の ε を選択するより先に、m を決めてしまうことはできないのです。

この回答への補足

なるほど。
εを決定→Ｎが存在
の流れが重要なんですね。

では例えば、はじめにε＝１とでもとっておけば、あるＮ_1が存在して
ｍ＞Ｎ_1　を満たすｍを一つ固定することは可能ですか？

ちなみに使っている某教科書では、とくにｍ＝Ｎ_1＋1として固定してるようなんですが。

補足日時：2010/05/21 09:53