
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
1/2≦x≦2 の収束はラグランジュの剰余項を用いて、
0<x<1の収束はコーシーの剰余項を用いて示せます。
http://phaos.hp.infoseek.co.jp/diff2/taylor.htm
まずはラグランジュの剰余項を用いて
f(x)=log x
=(x-1)-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3-...+(-1)^{n-1}(x-1)^n/n+R_n
R_n=f^(n+1)(z)/(n+1)!=(-1)^n/(n+1)((x-1)/z)^(n+1)
z=1+c(x-1) 0<c<1 (*)
(*) より 1<xのときは1<z<x
したがってx≦2のときは
(x-1)/z < x-1 ≦1
(*)より x<1 のときはx <z <1 であるから
1/2≦x のとき
|(x-1)/z|=(1-x)/z < (1-x)/x ≦1
従って1/2≦x≦2 のときは|(x-1)/z|≦1となり
|Rn|は n -> ∞ のとき0に収束します。
0<x<1 のときはコーシーの剰余項を用います。
Rn=(-1)^n/z^{n+1}(1-c)^n(x-1)^{n+1} z=1+c(x-1) 0<c<1
0<x<1 のとき
|(x-1)/z|=(1-x)/(1+c(x-1)) <(1-x)/(1-c(1-x))< (1-x)/(1-c)
従って
|Rn|<((1-x)/(1-c))^{n+1}(1-c)^n=(1-x)/(1-c)(1-x)^n
0<x<1より0<1-x<1 従って|Rn|は n -> ∞ のとき0に収束します
参考URL:http://phaos.hp.infoseek.co.jp/diff2/taylor.htm
返事が遅れてしまって本当にすみません。
解答ありがとうございます!
totoro7683さんの説明でやっと理解できました。
コーシーの剰余項
R_n = [{d^(n+1) f(z)/dx^(n+1)}/n!]*(1-c)^n(x-1)^(n+1)
0<c<1 , z = 1+c(x-1)
を使えば
0<x<1でR_n は0に収束するといえるのですね。
0に収束させるためのzの置換の方法は大変参考になりました!
本当にありがとうございます。
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