極限の問題です

(1)数列{(2x/x^2+1)^n}が終息するような実数xの値の範囲とその時の極限値を求めよ。
(2)aは実数、nは整数とするとき、極限値lim(ｎ→∞)a^n/2+a^nを求めよ。ただしa≠1である。


よろしくお願い致します。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2015/03/30 01:05

(1)数列a(n)={2x/(x^2+1)}^nが収束するような実数xの値の範囲とその時の極限値を求めよ。

数列a(n)公比rがr=2x/(x^2+1)となる等比数列である。この収束条件は

-1<r≦1

となることである。すなわち

-1<2x/(x^2+1)≦1

x^2+1>0なので

-(x^2+1)<2x≦x^2+1 ⇒　(x+1)^2>0, かつ　(x-1)^2≧0

よってx≠-1が収束するための条件である。

極限値はx≠-1、x≠1のとき0、ｘ＝1のとき1


(2)aは実数、nは整数とするとき、極限値lim(ｎ→∞)a^n/(2+a^n)を求めよ。ただしa≠1である。

L=lim(ｎ→∞)a^n/(2+a^n)=lim(ｎ→∞) 1/(1+2/a^n)

|a|>1のときL=1

0≦|a|<1のときL=0

a=-1のとき不定　(nの増加とともに-1,1/3の値を交互にとる）