数学の質問です。 数列anがαに収束するとき、lim[n→∞]|an|=|α| を示せ。また、lim

数学の質問です。
数列anがαに収束するとき、lim[n→∞]|an|=|α| を示せ。また、lim[n→∞] |an|=|α| を満たすが,anがαに収束しない例を挙げよ。
自分でやってみたのですが、よく分からないので、教えて下さい。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/05/21 06:18

数列a(n)がαに収束するから

{lim_{n→∞}a(n)=αだから}

任意のε>0に対して

ある自然数n_0が存在して

n>n_0となる任意の自然数nに対して
|a(n)-α|<ε

||a(n)|-|α||≦|a(n)-α|<ε
だから
∴
lim_{n→∞}|a(n)|=|α|

例)
a(n)=(-1)^n
α=1
とすると
|a(n)|=1
だから
lim[n→∞]|a(n)|=1=|1|=|α|

任意の自然数kに対して
m=2k+1>k
となる自然数mが存在して
|a(m)-α|
=|(-1)^m-1|
=|(-1)^(2k+1)-1|
=|-1-1|
=2>1
だから
a(n)=(-1)^nがα=1に収束しない

a(n)=(-1)^n
α=-1
とすると
|a(n)|=1
だから
lim[n→∞]|a(n)|=1=|-1|=|α|

任意の自然数kに対して
n=2k>k
となる自然数nが存在して
|a(n)-α|
=|a(n)+1|
=|(-1)^n+1|
=|(-1)^(2k)+1|
=|1+1|
=2>1
だから
a(n)=(-1)^nがα=-1に収束しない

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2020/06/09 07:37

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/21 03:12

f(x) = |x| に限らず、一般に連続な関数 f(x) について lim f(a_n) = f(lim a_n) です。

このことは、重要事項として高校の教科書にのっていますよ。

lim |a_n| = |α| を満たすが lim a_n = α ではない例としては、
a_n = (1 + 1/n)・(-1)^n なんてどうですか？

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/05/21 02:18

具体的にはどこまでできていてどこで「よくわからなく」なっている?